II.2. SÉANCE 2 : (sous séquence
3 : SS3) : Mise en oeuvre de la situation expérimentale.
Cette sous séquence s'exécute en deux
étapes :
II.2.1.
Etape1 :
Construction de l'image d'un point par
rapport à une droite en papier/crayon. Rappelons que les
élèves ont suivi des cours sur les transformations du plan.
a. Objectif :
Tester si les élèves sont capables de construire
le symétrique d'un point par rapport à une droite en
papier/crayon.
b. Test :
L'activité donnée à chercher à la
maison à la fin de la séance1.
c. Bilan de l'étape1 :
Si le test est concluant, nous passons à
l'étape2. Sinon nous ferons une
rémédiation avec les instruments de géométrie au
tableau en salle d'informatique.
II.2.2. Etape2 :
Si les élèves savent construire en papier/crayon
et savent utiliser les instructions du logiciel GeoGebra, sauront-ils
reporter leur construction sous GeoGebra ?
a. Objectifs :
Construire le symétrique d'un point par rapport
à une droite (D) sans utiliser l'instruction « Symétrie
axiale (Objet-axe) » de GeoGebra.
Engager les élèves dans une justification
pratique (sur GeoGebra) et théorique de cette construction (en
papier/crayon).
b.Activité1 :
Construis une droite (D) et un point M n'appartenant pas
à (D).
1) Construis le symétrique M' du point M par rapport
à la droite (D) sans utiliser l'instruction
« symétrie axiale » de la barre d'outils de
géométrie de GeoGebra.
2) En faisant déplacer M ou la droite (D), est-ce que
M' reste toujours le symétrique de M par rapport à la droite
(D) ?
c.Activité2 :
Dites pourquoi vôtre construction est juste ? (En
papier/crayon). Expliquez clairement.
II.2. 3.ANALYSE DES SITUATIONS DE LA SÉANCE
2 :
Rappelons que les élèves ont déjà
vu des outils de GeoGebra leur permettant de construire le symétrique
d'un point.
II.2. 3.1.Activité1 :
a. Objectifs ;
Engager les élèves :
Dans la construction du symétrique d'un point par
rapport à une droite (D) sans utiliser l'instruction
« Symétrie axiale (Objet -axe) » ;
Dans une justification par déplacement de cette
construction.
Énoncé :
Construis une droite (D) et un point M n'appartenant pas
à (D).
1) Construis le symétrique M' du point M par rapport
à la droite (D) sans utiliser l'instruction
« symétrie axiale » de la barre d'outils de
géométrie de GeoGebra.
2) En faisant déplacer M ou la droite (D), est-ce que
M' reste toujours le symétrique de M par rapport à la droite
(D)
3) Vous devez expliquer vôtre méthode de
construction à un camarade absent. Écrivez un texte pour
expliquer à ce camarade vôtre méthode de construction
étape par étape.
Consignes :
Inspirez-vous de vôtre construction faite avec les
instruments de géométrie pour reporter la construction en
environnement GeoGebra en utilisant les instructions appropriées.
Enregistrez ce fichier sous le nom
« activite2 » dans le dossier
« GeoGebra ».
b. Difficultés des élèves :
La transposition des étapes de construction du
papier/crayon aux instructions de GeoGebra.
Exemple : pour le report de longueur (utilisation du
cercle avec GeoGebra au lieu d'un arc de cercle).
c. Rôle du professeur dans la phase de
rémédiation :
Le professeur pose des questions pour guider les
élèves dans leur recherche jusqu'à ce qu'ils trouvent
l'instruction appropriée sans leur donne
II.2.
3.2..Activité2 :
a. Objectif :
Permettre aux élèves de passer d'une
construction effective à une justification théorique de la
construction du symétrique d'un point par rapport à une droite.
Énoncé :
Dites pourquoi vôtre construction est juste ? (En
papier/crayon). Expliquez clairement.
Consigne :
Regardez vôtre construction avec GeoGebra en
activité1.
b.Difficultés des élèves :
- Retrouver les configurations de la figure construite ;
- Bonne rédaction de leur démonstration.
c. Rôle du professeur dans la phase de
rémédiation :
La justification théorique d'une construction
géométrique n'est pas habituelle dans les pratiques. Le
professeur doit alors :
- Orienter les élèves dans l'identification des configurations
utilisées pour la démonstration.
- Guider les élèves dans la rédaction de leur
démonstration.
II.2. 3.3..Justification des
choix :
Si l'instruction « Symétrie axiale
(objet-axe) » n'est pas exclue, les élèves
n'utiliseront pas de connaissances géométriques dans la
construction. En effet, cette instruction de GeoGebra permet de construire le
symétrique d'un objet géométrique en de simples clics.
Cette instruction cache donc aux élèves les connaissances
géométriques liées à cette activité qui
permettra de « reconstituer » une procédure de
construction géométrique.
Les élèves utiliseront l'instruction
« Déplacer » de GeoGebra pour la validation de leur
construction. En effet, cette instruction de GeoGebra permet de déplacer
certain point d'une construction tout en conservant ses
propriétés géométriques.
En activité2 la justification théorique permet
d'institutionnaliser des connaissances mathématiques sur la
transformation symétrie orthogonale (les configurations qui accompagnent
la construction). En effet, l'enseignement de la géométrie ne
pourrait se limiter à de simples constructions qui se réduisent
à des techniques. Les logiciels de géométrie dynamique
constituent un moyen pour l'enseignement des mathématiques et non une
fin.
II.2.
3.4...METHODE1 :
a. Programme de construction en
papier/crayon :
(D)
()
(C1)
b. Justification théorique de la
construction :
- Le triangle MAM' est isocèle en A (car M et M'
appartiennent à l'arc de cercle de centre A) AM=AM'
A appartient à la médiatrice de [MM'] (1).
- Le triangle MBM' est isocèle en B (car M et M'
appartiennent à l'arc de cercle de centre B ) BM=BM'
B de la médiatrice de [MM'] (2).
Les relations (1) et (2) la droite (AB) est la
médiatrice de [MM'](comme ensemble des points équidistants de 2
points M et M').
(AB) est perpendiculaire au segment [MM'] en son milieu.
M' est l'image de M par la symétrie orthogonale d'axe
(D).
c. Configurations utilisées :
|
Figures géométriques :
|
Propriétés :
|
|
Le triangle isocèle
|
les côtés de l'angle au sommet sont
égaux.
|
|
Le cercle
|
les points sur un cercle sont équidistants de son
centre.
|
Questions susceptibles de guider les
élèves dans la justification:
Quand dit-on que M' est l'image de M par rapport à
(D) ?
Quelles sont les natures des figures qu'on retrouve sur la
construction ?
Que représente la droite (AB) pour le segment
[MM'] ?
d. Programme de construction avec
GeoGebra :
Choisis le mode « Droite passant par deux
points » ; clique dans la feuille de travail : A
apparaît ; glisse la souris et clique : B apparaît et la
droite (AB) est construite (GeoGebra le nomme a) ;
Choisis le mode « Nouveau point » ;
clique dans la feuille de travail : un point C apparaît ;
Choisis le mode « Cercle
(centre-point) » ; clique successivement sur A et C : un
cercle de centre A passant par C apparaît( GeoGebra le nomme c) ;
clique de même sur B puis sur C : un cercle de centre B passant par
C apparaît ( GeoGebra le nomme d).
Choisis le mode « Intersection entre deux
objets » ; clique alors sur la seconde intersection des deux
cercles précédemment construis : un point D
apparaît.
Le point D ainsi construit est l'image du point C par la
symétrie orthogonale d'axe (AB).
Il suffit alors de nommer d en (D), C en M et D en M' pour se
conformer aux notations de l'activité.
e. Justification pratique :
Choisis le mode « Symétrie axiale
(objet-axe) ; clique successivement sur le point C puis sur (a) ie
(AB) ;
Clique droit sur D : « Point D, Point
E » s'affiche D=E ; choisis le pont E : GeoGebra
décris alors le point E comme étant l'image du point C par la
symétrie d'axe (a) ie (AB).
Choisis le mode « Déplacer » ;
les propriétés de la figure ne changent pas quelque soit le
déplacement de A, B ou C.
L'image de C est alors D par la symétrie d'axe (D).
NB : D est un objet auxiliaire donc ne
peut être déplacé de façon indépendante.
II.2.
3.5...Methode2 :
a. Programme de construction en
papier/crayon :
(D)
(C)
(D')
b. Justification théorique :
(Le cercle C de rayon [OM] coupe (D') en M') ([MM'] est un
diamètre de C) O est le milieu de [MM'] (1).
(D') est perpendiculaire à (D) en O (D) est
perpendiculaire à [MM'] en O (2).
(1) et (2) (D) est la médiatrice de [MM'] M' est
l'image de M par la symétrie d'axe (D).
c. Configurations utilisées :
|
Figures
géométriques :
Le cercle
|
Propriétés :
- Le centre d'un cercle représente le milieu d'un
diamètre de ce cercle.
|
|
Un segment de l'une contenant leur intersection est
perpendiculaire à l'autre.
|
|
Droites perpendiculaires
|
Questions susceptibles de guider les
élèves dans la justification :
Comment sont la droite (D) et le segment [MM'] ?
Que représente le segment [MM'] pour le cercle
(c) ?
Que représente le point O pour le segment
[MM'] ?
Que représente alors droite (D) pour le segment
[MM'] ?
d. Programme de construction avec
GeoGebra :
Choisis le mode « Droite passant par deux
points » ; clique dans la feuille de travail : A
apparaît ; glisse la souris et clique : B apparaît et la
droite (AB) est construite (GeoGebra le nomme a) ;
Choisis le mode « Nouveau point » ;
clique dans la feuille de travail : un point C apparaît ;
Choisis le mode « Droite perpendiculaire »
clique successivement sur C puis sur (AB) : une droite b apparaît
perpendiculaire à (AB).
Choisis le mode « Intersection entre deux
objets » ; clique alors sur l'intersection la droite (b) avec
(AB) : un point D apparaît.
Choisis le mode « Cercle
(centre-point) » ; clique successivement sur D et C : un
cercle de centre D passant par C apparaît( GeoGebra le nomme c) ;
Choisis le mode « Intersection entre deux
objets » ; clique alors sur la seconde intersection (b) et le
cercle c : un point E apparaît.
Le point E ainsi construis est l'image du point C par la
symétrie orthogonale d'axe (AB).
Il suffit alors de nommer d en (D), C en M et E en M' pour se
conformer aux notations de l'activité.
e. Justification pratique :
Choisis le mode « Symétrie axiale
(objet-axe) ; clique successivement sur C puis sur a ie (AB) ;
Clique droit sur D : « Point E, Point
F » s'affiche E=F ; choisis le pont F : GeoGebra
décris alors le point F comme étant l'image du point C par la
symétrie d'axe (a) ie (AB).
Choisis le mode « Déplacer » ;
les propriétés de la figure ne changent pas quelque soit le
déplacement de A, B ou C.
L'image de C est alors E par la symétrie d'axe (AB).
NB : D, E et F sont des objets auxiliaires donc ne
peuvent être déplacés de façon indépendante.
II.2. 3.6. Comparaison des programmes de
construction en papier/crayon et avec GeoGebra :
Avec GeoGebra, pour construire une droite, les
élèves construisent d'abord deux points par les quels passe la
droite, contrairement aux pratiques des élèves en papier/crayon
(ici les élèves tracent des droites sans penser aux points qui
l'appartiennent).
En papier/crayon très généralement les
élèves tracent le segment puis ses extrémités.
Cette procédure est erronée sous GeoGebra (ici c'est les
extrémités du segment qui sont d'abord construites).
Pour reporter des distances en papier/crayon, les
élèves tracent des arcs de cercles. Sous GeoGebra, ils tracent
des cercles entiers.
En papier/crayon, les intersections d'objets
géométriques son nommées de façon naturelle par les
élèves. Sous GeoGebra, les élèves sont contraints
de construirent ces intersections d'objets comme tout autre objet
géométrique.
Le mode « Déplacer » de GeoGebra
permet aux élèves d'observer les différentes variantes
d'une construction, de conjecturer des propriétés
géométriques. Ce qui est difficile à réaliser en
papier/crayon.
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