2.3 Ondes de choc - discontinuités de
contact
Nous nous plaçons dans le cas où les
états u et u+ peuvent être joints non
plus par les ondes de raréfaction, mais plutôt par un choc.
2.3.1 L'ensemble de choc
Se rappelant de la condition de Rankine-Hugoniot
introduite au paragraphe 1.3 du chapitre 1, on fait l'observation
suivante dès que
f (u ) - f (u+) =
ó (u - u+) (ó E R), alors
il existe une courbe de choc d'équation x =
ót; cette observation motive les calculs
ci-après.
Définition 2.4. Soit u0 fixé
dansRn, on définit l'ensemble de chocs S
(u0) par :
S(u0)={uERn/
f(u)-f(u0)=a(u-u0)}
où a = a (u, u0) E
R
Théorème 2.2. (Structure de l'ensemble de choc).
Soit u0 fixé.
Dans un certain voisinage de u0, S
(u0) = Un k=1 Sk (u0) avec Sk
(u0) courbes régulières pour un certain
1 k n et possédant les propriétés :
(i) Sk (u0) passe par u0 et est
tangente à dk (u0).
(ii) limu?u0 a (u, u0) =
Àk (u0) , u E Sk (u0)
(iii) a (u, u0) = 1 2 (Àk
(u) + Àk (u0)) + 0 (|u -
u0|2) quand u -* u0 avec u E
Sk(u0)
Preuve. 1- Définissons A (u) = f0 1
Df (u0 + t (u - u0)) dt Alors
(2.11) A(u)(u-u0) =
f(u) - f(u0)
En particulier u E S (u0) si et seulement si
(2.12) (A (u) - aI) (u - u0)
= 0,
pour tout scalaire a = a (u,
u0).
2- Pour étudier (2.12), posons A(u0)
= Df(u0) ,au vu de la stricte
hyperbolicité, le polynôme
caractéristique À i--* det (ÀI - A
(u0)) a n racines réelles distinctes, d'où
À '--* det (ÀI - A (u)) a n
racines réelles distinctes si u très près de
u0.
Utilisant le théorème 1.5 du chapitre 1, nous
disons que dans un voisinage de u0, il existe
|
des fonctions régulières
|
À1 (u) < ...
<
|
Àn (u) et des
vecteurs unitaires {dk (u) , gk
(u)}
|
|
satisfaisant :
ëk (u0) := ëk
(u0),
|
dk (u0) := dk (u0), gk
(u0) := gk (u0) , 1 k n et
J' A (u) dk (u)
= ëk (u) dk (u)
gk (u) A (u) = ëk
(u) gk (u) ,
|
or {gk
(u)}1<k<n , {dk
(u)}1<k< n bases de
n et ainsi
3- On aura alors l'équation (2.12) si a
= ëk (u) pour tout 1 k n et (u -
u0) est
colinéaire à
dk(u). Au vu de (2.13), ces conditions
sont équivalentes à :
(2.14)
gl(u)(u-u0)=0,(l=6k).
? n-1 par :
Ces égalités donnent (n - 1)
équations des n inconnues composantes de u,
que nous souhaitons résoudre en utilisant le
théorème des fonctions implicites. Ainsi, définissant
Ö k : n
Ök(u) :=(...,
gk-1(u)(u-u0),
gk+1(u)(u-u0),...),
Ök(u0)=0.
DÖk (u0) =
|
?
????????
|
g1 (u0) ...
gk-1 (u0) gk+1 (u0)
...
gn(u0)
|
?
? ? ? ? ? ? ? ?
((n-1)xn).
|
|
Or les vecteurs {gk
(u0)}1<k<n forment une base
de n, d'où
rang DÖk (u0) = n
- 1.
Par conséquent, il existe une courbe
régulière Wk : ? n telle
que :
(2.15) Wk (0) = u0
et
(2.16) Ök (Wk (t)) = 0 pour
t ? 0.
La trajectoire de la courbe Wk (.) pour t
? 0 définit Sk (u0). Nous pouvons
réparamétrer Wk (.) de façon
que: ÿWk (t) = 1
4- (2.14)...(2.16) entrainent que
|
(2.17) Wk (t) = u0 + u
(t)
|
dk (Wk (t)) pour t ?
0,
|
où u : ? assez
régulière satisfaisant u(0) =
0,uÿ (0) = 1. Car d'après (2.14),
gl (Wk (t)) (Wk (t)
- u0) = 0, (l =6 k) (pour u =
Wk (t)). D'où Wk (t) - u0
colinéaire à
dk (Wk (t)) et ? u : t 7?
u (t) tel que Wk (t) - u0 =
u (t) dk (Wk (t)).
Différentiant (2.17) au point t = 0, on a :
(2.18) ÿWk (0) = dk
(u0)
D'où le vecteur dk (u0) est
tangent à la courbe Sk (u0) en u0
et (i) est prouvée.
5- Au vu de l'analyse précédente, il
existe une fonction assez régulière a
:Rn×Rn?Rtelque:
(2.19) f (Wk (t)) - f
(u0) = a (Wk (t) , u0)
(Wk (t) - u0) pour t ? 0
Différentiant au point t = 0, on
déduit au vu de (2.15) que : Df (u0)
ÿWk (0) = a (u0, u0)
ÿWk (0).
Au vu de (2.18), a(u0,u0) =
ëk (u0).
6- Posons a (t) := a (Wk
(t) , u0) tel que l'on ait (2.19).
Différentiant 2 fois (2.19), on a :
( )
D2f (Wk (t))
ÿWk (t) ÿWk
(t) + Df (Wk (t))
·Wk (t) = a· (t)
(Wk (t) - u0) + 2 aÿ (t)
ÿWk (t) +
a (t) ·Wk
(t)
En évaluant cette expression au point t = 0,
sachant que a(0)
=ëk(u0),Wk(0)=u0,
ÿWk (0) = dk (u0), on obtient
:
(2.20) (2 aÿ (0) I - D2f
(u0) dk (u0)) dk (u0) =
(Df (u0) - ëk (u0) I)
·Wk(0)
7- Soit 17k (t) = v (t)
l'unique paramétrisation vitesse de la courbe de
raréfaction Rk (u0) voisine de u0. Alors :
17k (0) = u0, ÿ17k
(t) = dk (17k (t))
Ainsi Df (17k (t)) dk
(t) = ëk (t) dk (t) pour
ëk (t) = ëk (17k (t))
, dk (t) = dk (17k (t))
Différentiant par rapport à t et évaluant au
point t = 0, on obtient :
)(2.21) ( D2f (u0) dk
(u0) - ÿëk (0) Idk
(u0) = - (Df (u0) - ëk
(u0) I) ÿdk (0)
Additionnant (2.20) et (2.21), on obtient :
( ) ( )
2 aÿ (0) - ÿëk
(0) dk (u0) = (Df (u0) ? ëk
(u0) I) ·Wk (0) -
ÿdk (0) Prenant le produit scalaire par gk
(u0) et observant gkdk =6 0, on conclut
que : (2.22) 2 aÿ (0) = ÿëk
(0)
De (2.22), on déduit que 2a
(t)?ëk (u0) ? ëk
(t) = 0 (t2) quand t ? 0
et (iii) est vérifiée.
On voit à partir du théorème 2-(iii),
que les courbes Rk (u0) et Sk
(u0) coïncide au moins au premier ordre en u0, dans
la suite, avec l'hypothèse de
dégénérescence linéaire, on va montrer
qu'elle coïncide en fait.
Théorème 2.3.
(Dégénérescence linéaire). On suppose
pour un certain 1 k n, que le couple (ëk
(u) , dk (u)) soit linéairement
dégénéré;
Alors pour tout u0 E Rn,
(i) Rk (u0) = Sk (u0) et
(ii) a (u, u0) = ëk (u)
= ëk (u0) pour tout u E Sk
(u0).
soit
{ vÿ (s)
Preuve. v = v (s) solution de
l'équation différentielle
= dk (v (s)) s E R
v(0)=u0
Alors la surface s i?> ëk (v
(s)) est constante et :
Z s
f (v (s)) - f (u0) =
Df (v (t)) vÿ (t)
dt
Z s
0
= Df (v (t)) dk (v
(t)) dt
Z s
0
= ëk (v (t)) dk (v
(t)) dt
0Z s
= ëk (u0) vÿ (t)
dt
0
= ëk(u0) (v
(s)-u0).
| 
