Une introduction aux systèmes de lois de conservation

1.4 Ondes mobiles- Systèmes hyperboliques.

Nous allons à présent nous intéresser à une bonne définition des solutions faibles _généralisées, ceci va entrainer le critère d'entropie basé sur l'anal_yse d'ondes de choc. Nous devons considérer la non linéarité de f dans l'espoir de mettre sur pied une bonne approche mathémati_que et de bonnes conditions ph_ysi_ques . Notre étude portera sur le s_ystème de lois de conservation.

(1.11)

? ?? ??

u1 t + (f^1 (u^1...u^n)) = 0 un t +(f^n (u^1....u^n)) = 0

Le s_ystème (1.11) s'écrit sous la forme _quasilinéaire

(1.12) ut+A(u)u =0

Ici, on veut chercher des solutions particulières _qui ont la forme d'ondes mobiles :
(1.13) u (t, x) = v (x ? ót)

(t> 0, x E R) où la fonction v et la vitesse ó E R sont des inconnues. En substituant (1.13) dans (1.12), on obtient l'é_galité :

(1.14) ?ó v ÿ(x ? ót) + A (v (x ? ót)) vÿ (x ? ót) = 0

Par observation de (1.14), on constate _que ó est la valeur propre de la matrice A(v) correspondant au vecteur propre ÿv. Cette conclusion su_ggère _que si nous devons chercher des solutions de notre s_ystème d'E.D.P sous forme d'ondes mobiles ou plus _généralement de va_gues, solutions de (1.12), nous devons imposer une certaine condition d'h_yperbolicité concernant les valeurs propres de A.

Définition 1.3. Si pour tout u E Rⁿ, les valeurs propres de A(u) sont réelles et distinctes, on dit _que le s_ystème (1.12) est strictement h_yperboli_que.

Dans toute la suite, nous supposerons le s_ystème d'E.D.P (1.12) (pour le cas spécial A = Df) strictement h_yperboli_que.

Notations

(i) Nous écrirons

À1 (u) < · · · < À_n (u)

pour dési_gner les valeurs propres réelles et distinctes de A (u) dans l'ordre croissant.

(ii) Pour k = 1 · · · n, dk (u) le vecteur propre non nul tel _que :

A (u) dk (u) = Àk (u) dk (u).

(iii) Sachant _qu'une matrice et sa transposée ont le même spectre, introduisons les vecteurs propres gk (u) pour la matrice transposée A (u)^T, on a :

A (u)^T gk (u) = Àk (u) gk (u) ,

_qui peut s'écrire encore :

gk (u) A (u) = Àk (u) gk (u).

Ainsi {gk _(u)}1<k<n pourra être re_gardé comme famille de vecteurs propres de _gauche et {dk _(u)}1<k<n celle de droite.

Remar_que 1.4. On pourra considérer les familles gk (u) et dl (u) telles _que : gk (u) dl (u) = äkl, u E Rⁿ. En effet_; Àl (gkdl) = gk (Àldl)

= gk (Adl) = A^Tgkdl = Àkgkdl (Àk - Àl) gkdl = 0

d'oùk =6 lgkdl=0 car Àk=6Àl.

Question : Comment se comporte la notion d'h_yperbolicité stricte dans un chan_gement de coordonnées?

Théorème 1.4. (invariance de l'h_yperbolicité dans un chan_gement de coordonnées). Soit u une solution ré_gulière du strict s_ystème h_yperboli_que (1.12).

Soit Ö : Rⁿ ?Rⁿ un difféomorphisme assez ré_gulier d'inverse W. Alors

u = Ö (u),

est solution du s_ystème strictement h_yperboli_que :

(1.15) ut +		A (u) ux = 0
dans (0, oc) x R pour (1.16)	A (u) := DÖ (W (u)) A(W (u)) DW (u).

Preuve. 1- Le chan_gement de fonction inconnue u 7?u = Ö (u) transforme l'E.D.P (1.11) en l'E.D.P (1.15).

2- Prouvons _que le s_ystème (1.15) est strictement h_yperboli_que. Si Àk (u) est une valeur propre de A (u) avec pour vecteur propre de droite dk (u) correspondant, on a: A (u) dk (u) =

Àk (u) dk (u). Posant (1.17) on a : (1.18) de même on a :

r dk (u) := DI (W (u)) dk (W (u)) Àk (u) := Àk (W (u)) A (u) dk (u) = Àk (u) dk (u),

Au vu de (1.17)...(1.19), on conclut _que le s_ystème (1.15) est strictement h_yperboli_que

rgk (u) := gk ( W (u)) DW (u) gk (u) A (u) = Àk (u) gk (u) (1.19) .

Question : Comment se comporte Àk (u), gk (u) et dk (u) _quand u varie?

Théorème 1.5. (Dépendance des valeurs et vecteurs propres de u). On suppose la matrice A assez ré_gulière, strictement h_yperboli_que, Alors :

i) Àk (u) dépend ré_gulièrement de u E Rⁿ ; 1 = k = n

ii) En outre, on peut choisir les vecteurs gk (u) et dk (u) dépendant ré_gulièrement de u tel _que |dk(u)| = 1, |gk(u)| =1, 1 = k =n

Preuve. 1- A(u) étant strictement h_yperboli_que, pour tout u0 ERⁿ, on a :

À1 (u0) < ... <À_n (u0).

Pour k fixé dans {1, ..., n}, pour u0 E Rⁿ, soit dk (u0) satisfaisant

A(u0)dk(u0)=Àk(u0)dk(u0); |dk(u0)| = 1,

supposons dk (u0) = e_n = (0, 0, .., 1).

En premier lieu, montrons _que dans un voisina_ge de u0, il existe des fonctions assez ré_gulières Àk (u) , dk (u) telles _que

A(u)dk(u)=dk(u)Àk(u), |dk(u)| =1.

2- On appli_que le théorème des fonctions implicites à la fonction ré_gulière I : Rⁿ x R x Rⁿ ? Rⁿ⁺¹ définie par:

I (d, À, u) = (A (u) d - Àd, |d|²) (d, u E Rⁿ; À E R).

-d1

ôI (d,À,u)

=

ô (d, À)

A(u) - ÀI ...

-d_n

2d1...2d_n 0

((n+1)×(n+1))

Or dk (u0) = e_n, il suffit de vérifier _que :

(1.20) det

A(u0) - ÀI

0 ... -1

=6 0

0...2 0

3- Pour å > 0 suffisament petit, la matrice

(1.21) A_å = A (u0) - (ëk (u0) + å) I

est inversible. A_å (e_n) = ?åe_n, par consé_quent

0

0

0

=

A_å . . . x

-1

0...2 0

I . . .

(-å)^-1

0...0 1

A_å ...

0

0...2 2 (?å)^-1

Sachant _que le déterminant de la 2e matrice vaut 1, on a : 0

det

Aå

. . . -1

= 2 (--å)^-1 (det Aå) = 2 Y j6=k

(ëj (u0) - ëk (u0) --- å) (-å) (-å)^-1

(u2)²
u1

f³ (u) = u2u3

u1

f1 (_u) _=u2

_--

u3 1 (u2)²

+p )

u1 2 u1

f2 (u) =

p u1

u1 2 u1

u3 1 (u2)² u2 u1

?

???????

???????

f (u) =

0...2 0

_qui tends vers 2 Qj6=k (ëj (u0) --- ëk (u0)) _quand å > 0.

Comme A (u0) est strictement h_yperboli_que, la dernière expression est non nulle et la condition (1.20) est vérifiée. Nous allons ainsi invo_quer le théorème des fonctions implicites pour extraire dans un voisina_ge de u0, les fonctions ré_gulières ëk (u) , dk (u) satisfaisant le théorème. Preuve similaire pour les vecteurs propres de _gauche

Exemple 1.3. Soient les é_quations d'Euler d'écoulement de _gaz compressible en dimension 1 suivantes :

(1.22)

? ? ?

ñt + (ñv)x = 0 ( conservation de la masse) (ñv)t + (ñv^2 + p)x = 0 ( conservation du moment) (ñE)t + (ñEv + pv)x = 0 ( conservation de l' énergie)

dans (0, 8) x IR où ñ est la densité de masse, v la vitesse et E la densité d'éner_gie par

2

unité de masse, p la pression . (E = e + v 2 , e éner_gie interne). Le s_ystème sera strictement h_yperboli_que si :

Op

p > 0, Oñ > 0, et Op > 0.

Oe

Cette assertion est très difficile à vérifier directement, car le flux définit comme ci-dessous est compli_qué.

où u = (ñ,ñv,ñE) ,u = (u1,u2,u3) ,u1 > 0.

Supposons un chan_gement de fonction inconnue et re_gardons la densité ñ, la vitesse v et l'éner_gie interne e comme des inconnues, d'où le s_ystème (1.22) devient alors :

ñt + vñx + ñvx = 0 vt + vvx + ^ñ1 vx= 0 et + vex + p ñvx = 0

où ñ> 0.

Posant w = (ñ, v, e), ce s_ystème devient wt + A (w) w_x = 0 où

(1.23) A(u)=u2I+ 0 u1 0

A(u)

Oñ (u1, u3) 0 1

Op Op

u1Oe (u1, u3)

1

u1

1

A(u)= u1

0

p(u1,u3) 0

Le pol_ynôme caractéristi_que de A (u) est --À (À² -- ó²) pour

ó2 = p u1^2

Op+ Oe

Op. Oñ

On revient à (1.23) et on voit _que les valeurs propres de A sont :

À1=v--ó, À2=v, À3=v+ó, ó>0

ó est la vitesse locale de son.

Par consé_quent, wt + A (w) w_x = 0 est strictement h_yperboli_que à condition _qu'on ait

Op Op

>0et >0.

Oñ Oe

Utilisant le théorème 1.4, on déduit _que les é_quations d'Euler sont strictement h_yperboli_ques.