Une introduction aux systèmes de lois de conservation

3.2 Paire entropie-flux

Le critère d'entropie de Lax ou de Liu ne fournissant des restrictions _que sur les états de _gauche et de droite, joints par un choc (ou une onde mobile pour une approximation vis_queuse), on va donc étendre le critère d'entropie. On exi_gerera à la solution faible de satisfaire certains t_ypes d'iné_galités appelées iné_galités d'entropie (ou d'éner_gie).

Définition 3.1. Deux fonctions ré_gulières , W : Rⁿ ? R définissent une paire entropie- flux pour la loi de conservation ut + f (u) = 0 si :

est convexe et

(3.23) D (u) Df (u) = DW (u) (u E Rⁿ)

Si u est une solution ré_gulière de (3.3) alors

(3.24) [ (u)] _t + [W (u)] = 0

(3.24) si_gnifie _que (u) satisfait une loi de conservation scalaire avec W (u) comme flux.

3.2.1 Deuxième condition d'admissibilité

Une solution faible u de (3.3) est entropi_quement admissible si
(3.25) [ (u)] _t + [W (u)] =0

au sens des distributions pour toute paire ( , W).

D^2Ö (uå).(uå x ?u^å x)=

Xn i,j=1

?^2Ö (u^å) ?u^å i?uå j

?uå i · ?uå j · = 0 ?x · ?x

Remar_que 3.2. En prati_que, les solutions _globales ne sont pas assez ré_gulières à cause des chocs et autres irré_gularités. Ö (u) sera cha_que temps la né_gative de l'entropie ph_ysi_que, et W (u) le flux d'entropie

L'iné_galité (3.25) affirme par consé_quent _que l'entropie évolue avec son flux, mais peut subir une fine croissance par exemple le lon_g des chocs. Comprendre plus ri_goureusement (3.25) comme :

{ f °° f

R [Ö (u) vt + W (u) v_x] dxdt = 0

0

(3.26) pour tout v E C^°° ₀((0, oc) x R), v = 0

Considérons le problème avec valeur initiale

(3.27)

{ut + f (u) x = 0 dans (0, oc) x R u(0,x)=u0(x) sur {t=0}xR

Définition 3.2. u est appelée une solution faible entropi_que de (3.27), si u est une solution faible et satisfait les iné_galités (3.26) pour toute paire entropie/flux.

Essa_yons de construire une solution faible entropi_que _générale pour la condition initiale u0. Comme dans le para_graphe 3.1, on espère avoir une bonne solution ph_ysi_que, _qui soit limite des solutions u^å de l'approximation du problème vis_queux :

{ uå t + f (uå) x = åuå _xx dans (0, oc) x R
(3.28) uå (0, x) = u0 (x) sur {t = 0} x R

On suppose u^å solution ré_gulière de (3.28), conver_geant vers 0 _quand |x| ? +oc assez rapidement pour justifier les calculs ci-après.On suppose en plus que _{uå}0<å<1 est uniformément bornée dans L^°° et cependant :

u^å?u _quandå >0
Remar_que 3.3. En prati_que, il est extrêmement difficile de vérifier cette conver_gence.

Théorème 3.2. (entropie et viscosité)

La fonction u est une solution faible entropi_que de la loi de conservation (3.27).

Preuve. Soit une _quelcon_que paire entropie-flux (Ö, W)_; Multipliant (3.28) par DÖ (u^å), on a :

(3.29) xx

Ö(u^å)_t+W(u^å)_x = åDÖ (uå) uå

= å [Ö(uå) _xx -D²Ö(u^å) · (uå _x ?u^å _x)]

Or

car convexe.

2- Multiplier (3.29) par ? E C ₀((0, oc) x R), ? = 0 et inté_grant par parties, on découvre _que :

_{Z Z Z Z}

[ (u^å) ?t + W (u^å) ?_x] dxdt = [D² (u^å) . (uå x ? u^å _x) ? -- (u^å) ?xx ] dxdt

(u^å) ?_xxdxdt

0 R ⁰ Z ^R Z

= --

0 R

Or par hypothèse, u^å ? u dansL1 _{loc q}uand ? 0, et d'après le Théorème de Conver-

_gence Dominé on a :

_{Z Z}

[ (u) ?t + W (u) ?_x] dxdt = 0

0 R

i.e _que (u)_t + W (u)_x = 0 au sens des distributions.

3- Finalement, fixant ? E C ₀((0, oc) x R, Rⁿ) et prenant le produit scalaire de l'E.D.P (3.28) par ?, après une inté_gration par parties, on obtient :

_{Z Z Z}

[u^å?t + f (u^å) ?_x + u^å?_xx] dxdt + u0 (x) ? (0, x) dx = 0

0 R R

En faisant tendre ? 0, utilisant le Théorème de Conver_gence Dominé, on déduit _que u est une solution faible de (3.26).

Exemple 3.2. En considérant le p-s_ystème d'Euler en dimension 1 de l'exemple 3.1, cherchons et W avec convexe et

'\ 0 -1 ) '\ Wz1 )

( z1, z2) =

-- pÿ (z1) 0 Wz2

On a (z) = z2 2 + f z1

2 ₀ p (s) ds, W (z) = --p (z1) z2 (z E R²) pÿ > 0 convexe.