Une introduction aux systèmes de lois de conservation

Chapitre 3

CRITÈRE D'ENTROPIE

Dans l'étude du problème de Riemann au chapitre 2, nous n'avons pris en considération _que la condition d'entropie de Lax

(3.1) ëk(u⁺) <á(u^-,u⁺) <ëk(u^-),

pour un certain k E {1, .., n} comme critère de selection admissible d'ondes de choc. Ceci est un départ intéressant dans une bonne discussion mathémati_que et ph_ysi_que, permettant de trouver de conditions plus appropriées d'entropie de diverses sortes, avec pour but de les appli_quer pour chercher des solutions faibles moins compli_quées de notre s_ystème de lois de conservation, ainsi pour obtenir le critère d'unicité, et plus d'informations concernant des probables solutions discontinues, etc.

Un principe _général est _que, des solutions ph_ysi_ques et mathémati_ques peuvent être cherchées comme limite des solutions du s_ystème ré_gularisé

(3.2) uå t + f (uå) x - Äu^å = 0 dans (0, oc) x R

où est un paramètre d'autant plus petit _que l'importance des phénomènes de diffusion
est faible et Ä= ?2 xx. A la limite, si on né_gli_ge la diffusion ( = 0), on aboutit à l'é_quation

(3.3) ut+f(u)_x =0.

Par consé_quent, étudions la limite de u^å lors_que ? 0, et de cette manière, nous allons
discuter d'un critère d'entropie plus _général pour améliorer la condition de Lax (3.1).

3.1 Viscosité évanescente-ondes mobiles

3.1.1 Première condition d'admissibilité

On dira _que la solution faible u du problème (3.3) est admissible s'il existe une suite de solutions régulières u^å de

(3.4) uå t +A(uå)uå x = uå xx

_qui conver_ge vers u dansL1 _{loc q}uand ? 0.

Commen_çons par chercher la solution du problème (3.2) sous la forme d'ondes mobiles i.e sous la forme :

(3.5) u^E(t,x)=v

(x -- Àt

, (t=0, xER)

où les inconnues sont la vitesse À et le profil v. En substituant (3.5) dans (3.2), on cherche v : R ? Rⁿ, v = v (s) solution de l'é_quation différentielle ordinaire

(3.6) v· = --À vÿ + Df (v) ÿv.

Supposant u , u⁺ données et _que

(3.7) lim 8-4 00	v (s) = u , lim 8-4+00		v(s)=u^+, lim |8|-4+00	vÿ (s) = 0.
Alors de (3.5), on déduit : (3.8) lim E-40		½ u si x < Àt uE (t, x) = u+six>Àt

d'où la limite _quand ? 0 de notre solution de (3.3) nous donne une onde de choc joi_gnant u et u⁺. Nous allons à présent étudier attentivement les formes de À et v, et de cette manière, _glaner plus d'informations sur la structure de chocs déterminés par (3.8).

Question A-t-on toujours existence de À et v solutions de (3.6) et (3.7) ? Inté_grant (3.6), on obtient :

(3.9) vÿ = f (v) -- Àv + cte, (cte = constante de Rⁿ).

On conclut en fonction de (3.7), _que :

(3.10) f(u ) -- Àu +c=f(u⁺) -- Àu⁺ +c d'où

(3.11) f(u ) --f(u⁺) =À(u --u⁺).

Au vu de (3.7), (3.10) et (3.11), (3.9) devient

(3.12) vÿ =f(v)--f(u )--À(v--u )

où u est donnée et en supposant la construction d'une onde mobile joi_gnant u à u⁺. De (3.11), on voit _que nécessairement u⁺ E Sk (u ) pour tout k E {1, ..,n} et À = À(u ,u⁺).

Théorème 3.1. (Existence d'ondes mobiles pour les s_ystèmes vraiment non- linéaires). On suppose le couple (Àk, dk) vraiment non-linéaire

Soit u⁺ choisi suffisamment proche de u . Alors il existe une onde mobile solution de (3.2) joignant u⁺ à u si et seulement si

(3.13) u⁺ E Sk _(u ) pour tout k E {1, .., n}

Preuve. 1- On suppose À et v solution de (3.6), (3.7).

Alors nécessairement u⁺ E Sk (u ) pour 1 = k = n, À = À (u , u⁺). Soit

G(u)=f(u) -- f(u )--À(u -- u ),

(3.12) s'écrit alors :

(3.14) vÿ = G(v) et on :a

G _(u ) = G (u⁺) = 0.

D'après (3.11), on a :

DG _(u ) = Df _(u ) -- ÀI

et les valeurs propres de DG au point u sont {Àk (u ) -- À}1=k=n. Avec les vecteurs propres de droite et de _gauche correspondants

_(u )

{dk, _gk}1=k=n , dk = dk _(u ) , gk = gk

2- Dès que u⁺ E Sk (u ) et |u⁺ -- u | très petit, on sait d'après le théorème 2.2-(iii) du chapitre 2 _que:

1 [Àk (u⁺) + Àk _(u )] + 0 (u+ -- u 2)

À = 2

ainsi

[Àk

Àk _(u ) -- À = 1 _(u ) -- Àk (u+)] + 0 (_u+ -- u ²)_.

2

Afin _qu'il _y'ait une orbite de l'é_quation différentielle (3.14) joi_gnant u (_quand s = --oc) à u⁺ E Sk (u ) (_quand s = +oc), on doit nécessairement avoir Àk (u ) -- À > 0_; par ailleurs la trajectoire ne pourrait conver_ger vers u _quand s ? --oc. Ainsi si |u⁺ -- u | est assez petit,

_(u ) .

Àk (u⁺) < Àk _(u ) u + E Sk

3- La preuve de la suffisance de (3.13) est admise Le résultat du théorème 3.1 utilise la condition de non linéarité du couple (Àk, dk), mais le théorème reste vrai en _général à condition d'introduire une variante appropriée de la condition d'entropie de Lax.

Supposons à present u⁺ E Sk (u ) pour un certain 1 = k = n et en outre

(3.15) À (u, u ) > À (u , u⁺) ,

pour cha_que u compris entre u⁺ et u et appartenant à la courbe Sk (u ).

Remar_que 3.1. (3.15) est la condition d'entropie de Liu, cette condition peut encore être motivée par la recherche des ondes mobiles du s_ystème (3.2).

Supposant u donné, alors si |u⁺ -- u | assez petit, ceci impli_que _qu'il existe une onde
mobile u^å (t,x) = v (x ët) , v résolvant (3.6) et (3.7) si et seulement si (3.15) est satis-

å

faite.

Nous allons à présent, à travers un exemple, montrer une application. Exemple 3.1. considérons le p-s_ystème :

{ u1 t -- u2 x = 0 ( compatibilité mathémati_que)
(3.16) u2 t -- p (u¹)_x = 0 (loi de Newton)

Sous la condition de stricte h_yperbolicité

(3.17) pÿ > 0,

notre investi_gation portera sur l'existence d'ondes mobiles, solutions du s_ystème ré_gularisé :

{ uE,1

t -- uE,2

(3.18) x = 0 .

_uE,2

t -- p (u^E,1)_x = åu^E,2

xx

Notons _que nous avons ajouté les termes de viscosité seulement dans la deuxième é_quation (ph_ysi_quement valable), comme la première é_quation de (3.16) n'est seulement _qu'une condition de compatibilité mathémati_que. Supposons _que

ux -- ót

uE = v

å

est une onde mobile solution de (3.18), avec

(3.19) lim s?-00

v=u^-, lim s?+00

v=u^+ et lim |s|?+00

vÿ =0.

Ecrivant v = (v1,v2) ,partant de (3.18), on a :

u

½ --ó ÿv1 -- ÿv2 = 0 . = d

--ó ÿv2 -- p(v1)^. = ·v2 ds

En inté_grant ce s_ystème et utilisant (3.19), on a :

½ óv1 + v2 = óv^- 1+ v-

(3.20) ) -- p (v1) = ó v+

2 = óv+ ₁ + v+ ₂

ÿv2 = ó v- 2 -- v2 ) + p v- ) + p v+ ) -- p (v1) ,

2 -- v2

1 1

_I ) _I

- - - + + v+ ) . En particulier,

2

óv^-₁ + v- 2 = óv+ ₁ + v+ ₂

pour u

{

) = óv⁺

óv- ₂ + p v- 2 + p v+ ) .

1 1

Résolvant ces é_quations, on obtient :

(3.21) ó² = p (v+ ) -- p (v- )

1 ¹ .

v+ 1 --v- 1

Supposons à présent v+ 1 > v^-₁;alors au vu de (3.17), on peut prendre ó > 0. Dans cette situation, la condition d'entropie de Liu, encore appelée la condition d'entropie d'Oleinik devient :

p(z1) - p (v- )

1

z1 - v 1 -

p (v+ ) - p (v- )

1 1

> v+ 1 - v^-₁

Pour tout z E Sk (u^-) entre u^- et u⁺, z = (z1, z2). Nous pouvons à présent affirmer _que le s_ystème d'é_quations différentielles (3.20), avec les conditions aux limites (3.19), a une solution si et seulement si l'iné_galité précédente est vérifiée. Pour vérifier cela, combinons les deux é_quations de (3.20) pour éliminer v².

(3.22) ÿv1=

p(v1) - p (v- ) 1- ó (v1 - v- ) := g (v1) 1 ó

g (v- ) = 0 et g (v+ ) = 0, s'accordant à (3.21). Ainsi, partant du fait _que (3.22) a une 1 1

solution, avec

lim 8-4-00

v1 = v^-1, lim 8-4+00

v1 = v+ 1 ,

on a g (z1) > 0 pour v- 1 < z1 < v+ 1 . Mais ceci est précisement la condition d' entropie précédente. Pour le cas v+ 1 <v^- ₁, on procède de la même fa_çon _que précédemment.