Une introduction aux systèmes de lois de conservation

Chapitre 1

PRÉLIMINAIRES

1.1 Rappels

Dans ce para_graphe, nous énon_çons deux résultats fondamentaux (admis) pour la démonstration des résultats de ce doucment.

Théorème 1.1. (théorème des fonctions implicites). Soit U un ouvert deR²ⁿ, soit f E C¹ (U, R^m) tel _que Jf (x0, y0) =6 0. Alors il existe un ouvert V C U avec (x0, y0) E V, un ouvert W C Rⁿ avec x0 E W et un difféomorphisme g : W -?Rⁿ E C¹ tel _que : *g(x0) = y0

*f(x,g(x)) = z0 (xEW) oùz0=f(x0,y0)et

* Si (x,y) EV et f(x,y) = z0 alors y =g(x)

*SifEC^k alorsgEC^k

Théorème 1.2. (théorème des fonctions inverses). Soit U un ouvert deRⁿ, soit f E C¹ (U, Rⁿ) tel _que Jf (x0) =6 0, alors il existe un ouvert V C U avec x0 E V, un ouvert W C Rⁿ avec z0 E W tel _que :

* La carte f : V -? W est bijective et

*f_¹:W -? V est C1

* Si f est C^k, alors f_¹ est Ck

Une première idée pour résoudre le problème (4) étant de chercher des solutions ré_gulières, la méthode des caractéristi_ques nous semble indi_quée.

1.2 La méthode des caractéristiques pour l'E.D.P du premier ordre ut (t, x) + f (u (t, x))x = 0.

On considère dans cette partie les problèmes de la forme

{ ut (t, x) + f (u (t, x))_x = 0 t > 0, x E R (1.1) u(0,x)=u0(x) xER

Avec f E C^°° (R) et u0 E L^°° (R). On prend ici u0 assez ré_gulière (par exemple C°° avec toutes ses dérivées bornées). L'idée est de chercher une fonction X : [0, 0e) -? R (appelée courbe caractéristi_que) telle _que, si u est une solution classi_que de( 1.1)_; l'application t i-? u (t, X (t)) soit constante, on aurait alors :

d dt{u(t,X(t))} = ut (t,X(t)) +

Xÿ (t) ux (t, X (t)) = 0

et, puis_que u vérifie (1.1), on a aussi :

ut(t,X(t))+f^ÿ(u(t,X(t)))u_x (t,X(t)) = 0

Par identification, on obtient X^ÿ (t) = f^ÿ (u (t, X (t))) et se souvenant _que l'on a u (t, X (t)) constant et en notant X (0) = x, on trouve

Xÿ (t) =

f^ÿ(u0(x)), soitX(t)=x+tf^ÿ(u0(x)).

Les caractéristi_ques, courbes ré_gulières le lon_g des_quelles les solutions de (1.1) sont constantes sont donc des droites, et pour tout x E R, on a

( )

u t, x + t f^ÿ (u0 (x))= u0(x)

La méthode des caractéristi_ques ne donnant des solutions ré_gulières _que pour des temps très petits, nous allons donner un résultat _qui nous permette de trouver la valeur limite de ce temps, au déla de la_quelle la méthode des caractéristi_ques n'est plus fiable.

Théorème 1.3. (théorème du temps optimal T^*) Soient u0 et f des fontions données de classe C², bornées et à dérivées bornées. Soit

_{n o}

+0e · ÿ

-1

_{n o}

infxER f· (u0 (x)) ÿu0 (x)

_{n o}

si infxER f· (u0 (x)) ÿu0 (x)<0

?

???

???

T^*=

Alors

* il existe un a > 0 tel _que l'application

( )

ø : (t, x) E]a, T ^*[×R ? t, x + f ÿ (u0 (x)) tE]a, T^*[×R est un C^°° -difféomorphisme.

* la solution du problème (1.1) est alors donnée par u (t, x) = u0 (?(t, .)_¹ (x)) où ?(t, .)(x) (x) = x + tf ÿ (u0 (x)).

Preuve. 1- Soit ?t (x) = x + f^ÿ (u0 (x)) t, on a ÿ?t (x) = 1 + f^· (u0 (x)) ÿu0 (x) t; pour tout t E [0, T^*[, ÿ?t > 0 sur R, et si on prend a < 0 assez petit, par exemple a tel _que

asup x

(f^·(u0 (x)) ÿu0 (x)) <1 (reste vrai sur ]a, 0]),

Pour tout t E]a, T^*[, ?t est donc strictement croissant sur R et, puis_que u0 est bornée,
?t (x) ? #177;0e lors_que x ? #177;0e. Pour ces t, ?t est donc un difféomorphisme de R.

Cela prouve le caractère bijectif de e : Pour tout (s, y) E]a, T^*[×R, il existe un uni_que (t, x) = (s, v,;¹ (y)) tel _que e (t, x) = (s, y) . On a de plus

|Je (t,x)| = det

1 0 fÿ(u0 (x))^ÿvt (x)

ÿvt (x) .

Ce _qui montre _que e est un difféomorphisme local en tout point de ]a, T^*[×R, puis_que son déterminant jacobien ne s'annule pas sur cet ensemble.

2- On a e (t, x) = (t, vt (x)) e (t, v7¹ (x)) = (t, vt (vt 1 (x))) = (t, x) . D'autre part,

u (e (t, x)) = u0 (x), d'où u (t, x) = u (e (t, v_t¹ (x))) = u0 (vt ¹ (x)).

Il reste à montrer _que u définie bien la solution du problème (1.1).

En effet, u (t, x) = u0 (vt 1 (x)) ut (t, x) + f^ÿ (u0 (vt 1 (x))) u_x (t, x)

=(v^-1

t(x))_t^ÿu0 (v7¹ (x)) + (v7¹ (x))_xÿu0 (x)) f^ÿ (u0 (v7¹ (x)))

Or (vtov7¹) (x)=x v7¹ (x) + tf (u0 (v7¹ (x))) = x

0 = e_t {v7¹ (x) + tf^ÿ (u0 (v7¹ (x)))}

e_t{v7¹ (x)} +f(u0 (x))) + tf^· (u0 (vt ¹ (x))) u0 (v7¹ (x)) e_t{v7¹ (x)}

??t {v^7^1 (x)} =	fÿ (u0(v-1t(x)))
	1 + tf^· (u0 (v71 (x))) ÿu0 (v7^1 (x))

et ? {v7¹ (x)} = 1

1 + tf^· (u0 (vi¹ _(x))) ÿu0 (v7¹ (x))

d'où (v7¹ (x))_tÿu0 (v7¹ (x)) + (v7¹ (x)) _xÿu0 (v7¹ (x)) f^ÿ (u0 (v7¹ (x))) = 0 et

u (t, x) = u0 (v7¹ (x)) est solution du problème (1.1).

D'où le théorème.

La méthode des caractéristi_ques permet donc de construire (explicitement modulo l'inversion de v) une solution ré_gulière à (1.1), mais sous les h_ypothèses structurelles concernant f^· et ÿu0, uni_quement locale en temps.

Question : Peut-on construire _généri_quement une solution ré_gulière définie sur ]0, 8[×R ? A travers _quel_ques exemples, procédons à une illustration.

Exemple 1.1. i) Considérons l'é_quation de Bur_gers :

ut + ( ₂²) =0 x

avec condition initiale continue

u (0, x) = u0 (x) =

? ? ?

1 si x = 0 1 --- x si 0 = x = 1 0 si x= 1

u0 (x) E/ C^1

2

On a f (u) = u₂ fÿ (u) = u f^· (u) = 1 et en utilisant le théorème précédent,

on deduit la valeur du temps optimal d'existence de solutions classi_ques comme étant
T* = 1. On en déduit _que, pour tout t < T^*, la solution peut être cherchée par la

méthode des caractéristi_ques.

la fonction ?t a_yant pour expression :

?

?

?

x 7?

x+t si x<0

,

(1 -- x)t+x si 0<x <1 x si x=1

alors

?-1 t

(x)=

? ? ?

x--t si x<t x-t 1-t si t<x<1 x si x=1

et la solution u est donnée par :

u(x)=

? ? ?

1 si x<t 1-x 1-t si t < x < 1 0 si x=1

.

ii) Considérons à présent l'é_quation de Bur_gers avec pour condition initiale continue, u0 (x) = 1 + x2,

1

(u2 )

u assez ré_gulier ut + = 0 ? ut+uu_x = 0.

2 x

D'après le théorème 1.3, on peut déduire la valeur de T^* comme étant _J27 (car en

8

posant g (x) = ).

--J27 (1 + x2)2, le minimun de g est atteint au point x0 = --2x 1 J3 et vaut 8

*Par consé_quent_; pour t < T *, les caractérisiti_ques sont des applications

?t (x) : t 7? x + tu0 (x) = x + 1 +x2, u étant constant le lon_g de cette caractéristi_que, t

le problème admet donc une uni_que solution donnée par :

.

(1.2) u(t,x) = u0 (?-1

t (x))

Remar_que 1.1. Au vu des deux exemples ci-dessus, on peut faire le constat suivant : même si la condition initiale est seulemlent continue, même si la condition initiale est infiniment dérivable, la solution peut devenir discontinue après un temps fini. Pour t > T *, les solutions classi_ques n'existent pas, car la fonction x 7? ?t (x) n'est plus injective et les caractéristi_ques vont pouvoir se rencontrer, ce _qui constitue une situation incompatible : cha_que trajectoire porte une valeur différente de la solution, et au niveau de l'intersection de ces trajectoires, on se retrouve avec deux valeurs différentes de la solution. Cette situation est ph_ysi_quement envisa_geable, et se traduit par une onde de choc. Il peut aussi _y avoir une situation contraire ou ces trajectoires diver_gent (ou s'écartent), laissant apparaître une onde de détente ou de raréfaction dans l'ouverture créée par la diver_gence du faisceau des caractéristi_ques. Il est donc indispensable de caractériser ce lieu de rencontre, on a donc recours à la notion de solutions faibles où _généralisées.

Dans toute la suite, on étudiéra le problème pour le cas n> 1.