IV.2.1.2. L'estimateur DEA-MALMQUIST
L'indice de productivité total de Malmquist a
été développé à l'origine par Malmquist
(1953) avant d'être intégré dans le contexte de la
méthode DEA par Caves, Christensen et Diewert (1982) en tant qu'indice
DEA-Malmquist. Cet indice permet la décomposition simple de
l'évolution de la productivité entre évolution de
l'efficience technique (ECH) et changement technologique (TCH)
(Coelli et al. 2005). Définie comme le ratio Output/Input, la
productivité totale varie à la fois en fonction de
l'efficacité du processus de production et par le type de technologie
utilisé. Mesurer la croissance de productivité d'une industrie ou
d'un pays entre deux périodes, revient à décomposer cette
notion en deux composantes essentielles : le changement du niveau
d'efficacité technique et le changement technologique. L'indice de
Malmquist, mesure le changement de productivité totale des facteurs en
distinguant le changement d'efficience dans le temps du progrès
technique (Färe, Grosskopf, Lindgren, Ross,1994). Il est la moyenne
géométrique de ses deux composantes. L'application de l'indice
Malmquist représente un avantage non négligeable. Il peut
être calculé en absence des informations sur les prix.
L'estimateur DEA-Malmquist est calculé empiriquement en
termes de fonction distance et compare l'output obtenu en période t avec
les inputs de cette période à l'output obtenu en t avec les
inputs de la période t+1. La décomposition de cet indice permet
aux unités de suivre le rythme des leaders en matière
d'innovation et d'amélioration de l'efficacité technique dans le
temps. Notons que cet indice a l'avantage que les hypothèses de
rendement d'échelle constant et variable n'ont pas d'influence dans
l'estimation des scores d'efficience dans la mesure où elles sont
utilisées pour calculer les différentes distances
nécessaire à la construction de l'indice de Malmquist.
a. L'indice de Malmquist orienté
Output
La fonction distance orientée output à la
période t se définit comme suit (Shepard, 1970
et Färe, 1988)
Mémoire rédigé par AJOULIGA DJOUFACK
Hermann Blondel 48
Efficience des dépenses publiques de santé et
croissance économique en zone CEMAC
t
Dto(Xi t, Yi t ) = min [û: (Xi
t, Yi ~ ~~
t
= [max{6: (Xi t, 6Yi)}]-1
(5)
= [Fot(Xi t, Yit)]-1
Fot (..) représente la mesure de
l'efficience technique de production de Farrell(1957).
D'après les travaux de Färe, Groskopf, Norris et
Zhang (1994), l'indice synthétique de productivité de Malmquist
est défini comme suit :
|
t+1 )
o(Xi t+1 ; Yi Do t+1(Xi t+1 ; Yi
t)= FDt t+1 )
Mo t (Xi t+1 ; Yi t+1 ; Xi t ; Yi i ) ~1/2
Dt o(Xi t ;Yt i ) Do t+1(Xi t ;Yt
|
(6)
|
La technologie à la période t
est celle de référence dans cette formulation. Cette
fonction de distance mesure le changement proportionnel maximum de l'output
requis pour rendre faisable relativement à la technologie de la
période t. Elle calcule la distance qui sépare
une observation de la frontière technologique. L'équation (6)
conceptualise l'indice de productivité totale de Malmquist, et peut
être reformulée comme suit :
|
t+1 ;
Mo t(Xi Yi t+1 ; Xi t ;
|
Dt
Yi t)=FDo t+1(Xi t+1 ; Yi t+1 ~
Dt o~Xi t ;Yi t ~ ~ ~Do t+1(Xi t+1 ; Yi t+1 ) o(Xi
t ;Yi t) t ~~1/2
Do t+1(Xi t+1 ; Yi t+1 ) Do
t+1~Xi t ;Yi
|
(7) ECH TCH
= MALMi t = ECHi t x TCHi
t
Le premier terme de l'équation (7)
représente le changement de l'efficacité technique
c'est-à-dire un rapprochement ou un éloignement de la
frontière des meilleures pratiques. Le second terme de l'équation
(7) traduit le changement technologique ou les innovations
représenté par un déplacement de la frontière de
production à la période t+1.
On peut donc calculer pour chaque unité de production i
les trajectoires dans le temps de la productivité, du changement de
l'efficacité technique et du progrès technique. Une valeur
d'ECHi t et TCHi t
supérieure à 1 traduit respectivement une
amélioration de l'efficacité technique et du progrès
technique entre les deux périodes. Si Xt= Xt+1 et
Yt= Yt+1, l'indice de productivité totale
Mo(.) = 1. Une valeur de Mo(.)
supérieure à 1, traduit un gain de
productivité. La figure ci-dessous illustre
graphiquement l'approche
par la frontière de détermination de l'indice de
productivité de Malmquist (voir Charnes, Cooper, Lewin, et Seiford, 1994
pour plus de détails).
b. L'indice de Malmquist orienté input
La procédure de détermination de l'indice de
productivité de Malmquist orientée input est la même que
celle utilisée pour l'orientation output. Pour définir cet
indice, Shepard (1970) suppose qu'à chaque période t =
1,..., T, la technologie de production modélise la
transformation des inputs Xt ? Rn+ en outputs
Yt ? Rn+ .
Mémoire rédigé par AJOULIGA DJOUFACK
Hermann Blondel 49
Efficience des dépenses publiques de santé et
croissance économique en zone CEMAC
En suivant le développement de Shepard, la fonction de
distance input est définie comme :
Dt i(×i t, Yit )= inf {O: (O×i t,
Yit)} (8)
×it Yit)}~ -1 = [Sup fo: ( ~ ;
Cette formulation caractérise complètement la
technologie. En prenant la technologie en t+1 comme
période de référence, l'indice de productivité de
Malmquist orienté input défini comme la moyenne
géométrique des deux indices nous donne selon Färe et al.
(1994) :
(9)
t)=fDt i(×i t+1 ; Yi t+1 ) (Di
t+1~×i t+1 ; Yi t+1 )
Mi t(×i t+1 ; Yi t+1 ; ×i t ; Yi Dt i(×i t ;Yi t )
)]
t ) ) Di t+1(×i t ;Yi
Cet indice peut se réécrire de la façon
suivante en suivant Färe et al. (1994) :
Dt
Mi t(×i t+1 ; Yi t+1 ; ×i t ; Yi t)=FDi t~×i t+1 ;
Yi t+1 ~
Dt i~×i t ;Yi t ~ 1 [Di t+1(×i t+1 ; Yi t+1 )
i×i t ;Yi t) t
~~1/2(10)
Di t+1(×i t+1 ; Yi t+1
) Di t+1(×i t ;Yi
ECH TCH
La décomposition de cet indice pour tenir compte de la
variation de l'efficacité technique et du changement de la technologie
entre les deux périodes, se fait selon le même principe que
précédemment. Les termes de droite et de gauche
s'interprètent exactement de la même manière que pour les
fonctions de distance orientées en outputs.
La fonction de distance comprend quatre composantes, que ce
soit à orientation input ou à orientation output :
Dit (xt, yt) ; Di t+1
(xt+1, yt+1) ; Dit (xt+1,
yt+1) ; Di t+1 (xt, yt).
Chaque composante mesure une efficacité relative bien précise.
Quatre programmes linéaires correspondant à ces 4 composantes de
la fonction de distance sont résolus afin de calculer l'indice de
productivité de Malmquist. Selon Coelli, et al. (1998), si on a
T périodes, la règle consiste à calculer
(3T-2) programmes linéaires pour chaque firme. Pour
N firmes avec N=20 et une période de 10 ans (T=10), le
nombre de fois que le programme linéaire sera résolu est :
N*(3T-2) = 20*(3*10-2) =560 PL.
En somme, L'approche DEA-Malmquist considère dans
l'évaluation des scores, l'évolution de l'environnement
technique, social et économique du pays concerné. Cet estimateur
permet donc de mesurer la variation des scores d'efficience entre deux dates
consécutives.
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