3.1.3 Test de racine unitaire de Maddala et Wu [1999]:
(approche non paramétrique)
Les deux tests précedents sont deux tests
paramétriques.Le test de Maddala etWu [1999][36] est une approche non
paramétrique de Fisher [1932] pour tester la présence d'une
racine unitaire en panel. Cette approche se base sur la combinaison des
différents niveaux de signiÞcativité (p-value) des N tests
individuels de racine unitaire indépendants.
Soit æi la statistique de test de racine unitaire pour
l'individu i dans le modèle suivant:
?yit = ái + ñiyi,t?1 + XPi
âij?yi,t-j + åit , ? i = 1 N; ? t = 1 T (3.6)
J=1
Soit pi = -FTi( æi) la p-value associée à
une statistique de test æi de l'hypothèse nulle de racine unitaire
pour un individu i donné oft -FTi(.) désigne la
fonction de répartition associée à la statistique
individuelle æi pour un échantillon de taille Ti . La statistique
de test æi peut être choisie comme la t-statistique d'un
test ADF ou la statistique de n'importe quel autre test de l'hypothèse
nulle de racine unitaire ( Phillips et Perron [1988][46], KPSS, etc...).
Ce test est directement comparable au test IPS et lui est
trés similaire.
Maddala et Wu [1999][36] ont proposé la statistique
suivante pour combiner les différents niveaux de
signiÞcativité.
PMW = -2 XN ln(pi) (3.7)
i=1
L'avantage de ce test par rapport à celui de IPS est qu'il
n'exige pas que le panel soit cylindré.
Si les statistiques individuelles du test sont continues, les
p-value sont distribuées selon un ÷2(1) alors,
N
PMW = -2 i=1 ln(pi) ÷2(2N)
Pour une dimension individuelle très élevée,
Choi [2001][14] propose la statistique standardisée suivante;
v
N [PMW - E(-2ln(pi)]
1
XN
i=1
=
2vN
(-2ln(pi) - 2) (3.8)
ZMW =
p
V ar(-2 ln(pi))
Or ln(pi) -? 1, donc E(-2 ln(pi) = 2 et V ar(-2 ln(pi)) = 4.La
statistique de Choi correspond tout simplement à une statistique moyenne
de type NW centrée et réduite, ainsi sous
l'hypothèse nulle, si on suppose que les p-value sont i.i.d, la
théoreme centrale limite permet de juger que ZMW --+ N(0, 1) lorsque N-?
8.
En ce qui concerne la décision de stationnarité,
l'hypothèse nulle est rejeté tant que la réalisation
de PMW est supérieure au seuil de la loi de chideux.
3.1.4 Test de stationnarité de Hadri
[2000]:(hypothèse nulle de stationnarité)
Hadri K [2000][25] a dérivé un test basé
sur le multiplicateur de lagrange de résidus. A l'inverse des autres
tests, Hadri [2000] est un test de l'hypothèse nulle de
stationnarité contre l'alternative de racine unitaire dans le panel
considéré. Il est basé sur les résidus de la
régression MCO de yit sur une constante et une tendance, en particulier
Hadri [2000] considére les deux modéles suivants:
yit = rit + åit, ? i = 1 N et ? t = 1 T (3.9)
yit = rit + âit + åit ,? i = 1 N et ? t = 1 T
(3.10)
avec rit = ri,t-1 + uit est une marche aléatoire,
åit IIN(0, ó2å) et uit
IIN(0, ó2u)
cov(åit, uit) = 0 V i, t.
Par une substitution de rit dans yit on aura:
|
yit = ri0 + âit +
|
Xt
s=1
|
uis + åit = ri0 + âit + vit (3.11)
|
t
o`u vit = uis + åit
s=1
ri0 étant des valeurs intiales jouant le rôle de
constante hétérogénes. Si ó2 u
= 0 alors vit = åit est stationnaire (rit est une
constante).
Si ó2u =6 0 alors ,vit est non
stationnaire (rit est une marche aléatoire ).
Hadri [2000] test l'hypothèse nulle ë = 0 contre
l'hypothèse alternative ë 0 o`u
ó2
ë = u
ó2 å
i.e; H0 : ë = 0
Ha : ë 0
En notant àvit les résidus
estimés de (yit = ri0 +vit) ou (yit = ri0 + âit +vit),
La statistique LM est donnée par:
|
1
LM = àó2 å
|
1
NT2 (
|
XN
i=1
|
XT
t=1
|
S2 it)(3.12)
|
Avec Sit désigne la somme partielle des résidus.
t
Sit = vis et
àó2å est un estimateur convergent de
ó2 å.
s=1
Sous H0 de stationnarité en niveau, la statistique de test
est;
|
Zu =
|
N h LM - E hR 0 1 v(r)2drii
rV hR 0 1 v(r)2dri
|
--+ N(0,1) (3.13)
|
v(r) est un pont brownien standard, pour T ? 8 suivi de N ? 8,
les cumulants de la fonction caractéristique de R01
v(r)2 donnent respectivement la moyenne et la variance de
R01 v(r)2 intervenant dans Zu
:16(cumulant d'ordre 1) pour l'espérance et
415 (cumulant d'ordre 2) pour la variance (voir
K.Hadri [2000] pour les détails).
Sous H0 de stationnarité autour d'une tendance
déterministe (modéle yit = rit + âit +
åit) la statistique de test est:
|
Zô =
|
N h LM - EhR 0 1 v2 (r )2dri
|
--+ N(0, 1) (3.14)
|
|
rV hR 0 1 v2(r)2dri
|
|
Où v2(r) = wr + (2r - 3r2) x w(1) +
6r(r - 1) R01w(s)ds (Voir Kwiatkowski et al
[1992][32]).
Z 1
La moyenne et la variance de v2(r)2dr sont
données par les deux pre-
0
miers cumulants soit,respectivement,15
et 631010.
Afin d'étudier la performance de son test, Hadri (2000)
a mené des simulations de monte carlo, celles-ci ont ressorti que la
taille de Zu est proche de la taille théorique de 5% pour T
> 10 et la taille de test Zô est correcte pour T > 25.
La puissance de test augmente avec la valeur ë pour tout T et N.
La décision de test sera prise en comparant la
réalisation de la statistique Zu et/ou Zô
à la quantile de table de la loi normale centré réduite,
la différence par rapport aux autres tests est que le rejet de
l'hypothèse H0 signifie la non stationnarité.
Une fois la stationnarité de panel est testée,
l'estimation par les méthodes classiques n'a plus de sens et une
tentative d'estimation doit passer par un test de cointégration sur
données de panel. L'estimation d'une éventuelle relation de long
terme en panel sera à travers d'autres méthodes plus
sophistiquées telleque la
méthode FMOLS (fully modiÞed ordinary least squares)
et/ou DOLS (dynamic ordinary least squares).
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