3.1.2 Test de racine unitaire d'Im, Pesaran et Shin
[2003]:
-
Le défaut majeur de test LLC [2002] est qu'il impose
l'homogénéité de la racine autorégressive sous
l'hypothèse alternative. Le test d'Im,Pesaran et Shin [2003][28]
que nous venons à présenter permet de
répondre à cette critique puisqu'il permet une certaine
hétérogénéité de la racine
autorégressive sous Ha pour un groupe d'individu N1 E ]0; N[,
telque limN?8(N1/N) = ä o 0 - ä -< 1. Si N1 = 0, on retrouve
l'hypothèse nulle.IPS sont les premiers à développer un
test qui permet non seulement une
hétérogénéité de racine
autorégressive sous Ha (ñi =6 ñj), mais aussi
une hétérogénéité quant à la
présence d'une racine unitaire dans le panel.
La méthode d'IPS peut être décriter de cette
maniére :
Premièrement,IPS considérent un modèle de
type ADF pour chaque individu i = 1 N du panel.
Modéle IPS:
?yit = ái + ñiyi,t?1 + XPi
âij?yi,t-j + åit , V i = 1 N; Vt = 1 T (3.4)
J=1
O l'effet individuel ái est déÞni par
ái = --ñiãi avec ãi E J1
et o åit est N.i.d(0, ó2 i ).
IPS autorisent la présence d'une autocorrélation
des résidus d'ordre différent pour chaque individu du panel. Le
nombre de termes ADF diffère à priori entre les individus pi =6
pj comme dans le test de Levine et al [2002][35].
L'hypothèse qui fait l'objet de ce test est
formulée comme suit: H0 : ñi = 0 V i = 1 N
Ha : ñi -0Vi=1 N1
ñi=0?i= N1+1,N1+2, N
Pour tester cette hypothèse IPS proposent d'utiliser la
moyenne des statistiques individuelles ADF:
1
tiT(pi, âi)
N
tNT =
XN
i=1
o tiT (pi, âi) correspond à la
statistique individuelle de student associée à l'hypothèse
nulle H0,i : ñi = 0 dans le modèle d'IPS pour un nombre de
retards pi et un vecteur de paramétres ADF âi =
(âi,1 âi,pi)0.
Le choix du retard optimal pi permet de purger l'auto
corrélation des résidus. La méthode de sélection du
retard peut être choisie de la même façon que dans le cas
des tests de Levin et al [2002][35].
En utilisant les N statistiques ADF individuelles
tiT(pi, âi), on construit la statistique
standardisée:
"v #
N(tNT - E(tiT))
p
V ar(tiT)
Ztbar(p,â) =
l -'- N(0,1)siT - 6 (3.5)
N ? 8
E(tiT) et V ar(tiT) sont l'espérance et la variance de
la distribution asymptotique (quand T ? 8) d'une statistique ADF sous
l'hypothèse nulle de racine unitaire (ñi = 0) dans un
modèle avec constante. Ces moments sont respectivement égaux
à -1, 533 et 0, 706.
Ainsi,nous pouvons montrer facilement que la
statistiqueZtbar(p, â) converge séquentiellement vers
une loi normale centrée réduite lorsqueT puis N tendent
vers l'infini.
|
"v #
N(tNT - E(tiT ))
Ztbar(p, â) = p
V ar(tiT)
|
T,N ? 8 -'- N(0,1)
|
Cette approche est fondée sur la distribution
asymptotique, ce qui peut poser problème dans des échantillions
de dimension temporel finie. IPS proposent une autre statistique
Wtbar(p, â) qui a la même distribution que
Ztbar mais qui est plus puissante à distance finie. C'est la
plus génerale puisqu'elle tient compte de l'autocorrelation des
résidus. Cette statistique est définie de la même
façon que Ztbar(p, â) à la différence
prés que l'on centre et l'on réduit à partir des moments
de la statistique ADF obtenue sous l'hypothèse nulle de racine unitaire
et sous l'hypothèse que âi sont des termes ADF, ces moments sont
respectivement E(tiT(pi, 0)/ñi = 0) et V (tiT(pi,
0)/ñi = 0) et qu'ils tiennent compte de l'information contenue dans le
nombre de retard pi.
|
Wt(p,â) =
|
?
? ? ? ?
?
|
· ?
v PN
N tNT - N-1 E(tiT (pi, 0)/ñi = 0)
??
i=1
s ? T, N ? 8 -'- N(0, 1)
?
PN ?
N-1 V (tiT (pi, 0)/ñi = 0)
i=1
|
Ces moments sont tabulées pour différentes ordre
des retards pi et pour différentes tailles temporelles T.
L'hypothèse nulle est rejetée lorsque la
réalisation de la statistique Wt(p, â) est inférieure au
seuil de la loi normale centrée réduite .
| 
