Estimation de la demande régionale d'eau résidentielle en présence d'une tarification progressive et non linéaire en Tunisie. Une approche par cointégration sur données de panel

3.4 Estimation

Bien que l'estimateur de moindre carrée ordinaire MCO est le plus efficace dans la famille des estimateurs linéaires depuis son existence, on le note souvent BLUE (best linear unbased estimateur), sa distribution est asymptotiquement biaisée, et dépend des paramétres de nuisance associés à la présence de corrélation sérielle dans les données ( Voir Hurlin et Mignon (2006))[27], Un tel problème est posé également pour les données de panel.

Pour estimer une relation de cointégration sur un panel non stationnaire, il est nécessaire d'utiliser une méthode d'estimation efficace. Deux techniques existent à savoir la méthode FMOLS (Fully ModiÞed Ordinary Least Squares) proposée par Phillips et Hansen [1990][45], étudiée par Pedroni [1996][42] et la méthode DOLS ( (Dynamic Ordinary Least Squares) de Saikkonen [1991][52] et Stock et Watson [1993][53].

Dans le cas des données de panel, Kao et Chiang [2000][30] ont montré que ces deux techniques conduisaient à des estimateurs asymptotiquement distribués selon une loi normale de moyenne nulle. Des résultats similaires sont obtenus par Pedroni [1996][42] et Phillips et Moon [1999][47] pour la méthode FM-OLS.

3.4.1 La méthode FM-OLS (fully modified ordinary least squares)

Cette procédure, étudiée notamment par Pedroni [1996][42], permet de tenir compte des problèmes d'endogénéité du second ordre des régresseurs (engendrée par la corrélation entre le résidu de cointégration et les innovations des variables I(1) présentes dans la relation de cointégration)¹⁰ et des propriétés d'autocorrélation et d'hétéroscédasticité des résidus.

Soit le modèle de régression entre deux variables avec un terme constant :

yit = ái + _âxit + u1,it (3.23)

Avec :

xit = xi,t-1 + u2,it

Soit wit = (u1,it ; u2,it)^' un vecteur stationnaire de matrice de variance covaraince asymptotique ?i? i = 1, ..., N.que l'on peut décomposer d'une maniére usuelle en une covaraince contemporaine ?0 i et une somme pondérée d'autocovariance i. Formellement,

?i = ?0 i + i + ' i

oft ?0 i désigne la covariance contemporaine et i désigne la somme pondérée d'autocovariances. â est le vecteur de cointégration:

L'estimateur FMOLS de â est donné par Pedroni P [1996][42]:

XN !-1 XN XT !

_XT

àâF MOLS = àL-2 (xit - xi)2 àL-1

11i àL-1 (xit - xi)y* it - T àãi

22i 22i

i=1 t=1 i=1 t=1

(3.24)

oft:

y* it = (yit - yi)	^àL21i ^àL22i	?xit +	^àL11i - àL22i â(xit - xi) (3.25) ^àL22i

¹⁰Nous considérons que xi est univariée alors que dans le cas générale xi peut inclure M régresseurs qui ne sont pas cointégrées entre eux.

^àLi est la décomposition triangulaire inférieure de l'estimateur ^à?i de la ma-trice de variance covariance asymptotique ?i, ^àLi étant normalisé de telle sorte que

^àL22i = à?-1/2

22i , et le paramètre d'ajustement pour la corrélation sérielle àãi s'écrit :

àãi = ^à21i +	à?^0 21i	à21i ( à22i +	à?022i)
		à 22i

comme nous l'avons précédemment mentionné, les distributions asymptotiques des estimateurs basés sur la méthode FM - OLS sont non biaisés et ne dépendent pas des paramètres de nuisance.(Voir Phillips et Moon [1999][47])

En passant aux données groupées et suivant l'approche Between, l'estimateur FMOLS appliqué aux données de panel se calcule comme la moyenne des ^àâFMOLS individuels.

Panel Group FMOLS : ^àâFMOLSG = N-1 _XN ^àâFMOLS (3.26)

i=1