Planification et gestion du parc de transport au niveau de la SARL Ibrahim et fils

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Tests et ajustements

3.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques notions sur les tests d'ajustement et l'estimation par intervalle de confiance pour les utiliser ensuite dans la détermination de la loi régissant le besoin journalier en camions, le calcul de l'intervalle de confiance de ce dernier et dans la détermination de la distribution du temps aléatoire de service des camions.

3.2 Tests d'ajustement

Les tests d'ajustement ont pour but de vérifier si un échantillon provient ou pas d'une variable aléatoire de distribution connue F0(x).

Soit F_n(x), la fonction de répartition de la variable échantillonnée. Il s'agit de tester :

H0 » F_n(x) = F0(x) » contre H1 » F_n(x) =6 F0(x) » Les tests les plus classiques sont :

3.2.1 Test de Khi-deux [12]

Soit X1, X2, .. . , X_nun n-échantillon issu d'une variable aléatoire X.

On partage le domaine D de la variable aléatoire X, partie de l' ensemble des réels R, en r classes c1, c2, .. . , c_r. Généralement, on prend r ' vn.

Soit :

* ni : l'effectif de la classe ci.

Xr i=1

(Ni - npi) npi

suit asymptotique-

* pi : la probabilitéde se trouver dans la classe ci. Elle est déduite a` partir de la loi de probabilitéa` tester.

* nipi : effectif théorique de la classe ci

Pearson a démontréque la variable aléatoire K2 fl =

ment un Khi-deux a` (r - 1) degrés de liberté.

Ni étant la variable aléatoire représentant l'effectif de la classe ci et dont la réalisation est ni.

Soit k2 fl la réalisation de la variable aléatoire K2 fl. La règle de décision est alors :

· Si k2 fl < ÷2 (r-1,á), on accepte l'ajustement de la variable aléatoire X par la loi choisie avec un niveau de signification a.

· Si k2 fl > ÷2 (r-1,á), on rejette l'ajustement de la variable aléatoire X par la loi choisie avec un niveau de signification a.

Lorsque les paramètres de la loi a` valider sont estimés a` partir de l'échantillon, le degréde libertédu Khi-deux est alors égale a` (r -l-1), l étant le nombre de paramètres estimés. L'application du test du Khi-deux doit satisfaire les conditions suivantes :

1. Le nombre de classes doit être supérieur ou égale a` 7.

2. L'effectif théorique npi de chaque classe doit être supérieur ou égale a` 8.

Remarque 3.1. Si le nombre de degréde libertéest supérieur a` 30, on peut assimiler la

/ fl - v2r ? ?(0, 1).

loi de Khi-deux par une loi normale. On montre que 2K²

3.2.2 Test de Kolmogorov-Smirnov[16]

Soit X1, X2, . . . , _Xflun n-échantillon issu d'une variable aléatoire X que l'on veut ajuster par une loi théorique F0(x). Soit F_fl(x) sa fonction de répartition empirique.

Kolmogorov a démontréque la variable aléatoire Dfl = max F_fl(x) - F0(x) avec x E R suit asymptotiquement une loi indépendante de F0, Telle que :

lim P(vnD_fl < t) = ~(x),

fl?8

avec

? ??

??

h(t) =

(-1)^ke^-2k2x2, pour x > 0.

0, pour x = 0

Cette fonction est tabulée (table de Kolmogorov).

Soit d(a) la valeur tabulée, telle que p(D_n > d(a)) = a, avec a un seuil de signification fixéa` l'avance. La règle de décision est alors :

· Si Dfl > d(a), on rejette l'ajustement de la variable aléatoire X par la loi choisie.

· Si D_n < d(a), on accepte l'ajustement de la variable aléatoire X par la loi choisie.