2.6.2 La r'egression non lin'eaire
La r'egression non lin'eaire demeure aujourd'huit une m'ethode
mystique. Plusieurs raisons pourraient expliquer cet 'etat de fait. D'une part,
la mise en oeuvre des calculs r'eclame l'intervention directe de l'utilisateur,
et les aspects algorithmiques, auxquels il est confront'e en premier lieu, ont
longtemps estomp'e la v'eritable nature statistique du probl`eme. D'autre part,
la th'eorie statistique sous-jacente n'est pas tr`es simple, et tous les
probl`emes concrets qui r'ev`elent de cette m'ethode ne sont pas encore
r'esolus.
Le mod`ele de r'egression le plus g'en'eral est d'ecrit
math'ematiquement par l''equation suivante :
Yi = f(xi, è) + ci i = 1, . . . , n.
La loi de probabilit'e des ci est une loi sur ,centr'ee et de
variance ó2i finie. Les ci sont ind'ependants
entre eux.
f est une fonction de forme bien d'efinie, d'ependante d'une
variable r'eelle x et d'un vecteur de param`etres è. On note par p le
nombre de ces param`etres. Donc on cherchera è dans l'ensemble È,
partie de l'ensemblep.
2.6.2.1 Estimation des param`etres du mod`ele
Pour effectuer ce genre de r'egressions, on utilise toujours
les moindres carr'es, mais on se retrouve avec un syst`eme non lin'eaire, que
l'on r'esout de mani`ere approch'ee (par exemple, par la m'ethode de
Newton-Raphson). Le calcul effectif de ces estimateurs passe donc par la
r'esolution num'erique. On entre alors dans le domaine de l'optimisation d'une
fonction avec toute les difficult'es que cela peut impliquer (non convergence,
convergence vers des optimums locaux, calculs importants, . . . ). Ces
probl`emes augmentes avec le nombre de param`etres a` estimer, une autre
m'ethode courante consiste a` utiliser l'expansion en s'erie de Taylor de la
fonction et d'appliquer la r'egression a` la partie lin'eaire 'evalu'ee en un
point initial pas trop 'eloign'e de la solution cherch'ee, on trouve alors un
deuxi`eme point o`u l'on 'evalue a` nouveau l'expansion de Taylor et ainsi de
suite jusqu'`a l'optimum.
2.6.2.2 Validation du modèle
La première chose a` faire est 'evidement de juger a`
»l'oeil» la quantit'e d'ajustement du modèle au donn'ees. Un
tel examen peut r'ev'eler un mauvais choix du modèle de r'egression, ou
une erreur dans les contraintes impos'ees aux paramètres.
Enfin, pour revenir a` la validation du modèle, c'est
sans doute l'examen de diverses repr'esentations graphiques des r'esidus qui
fournit le moyen de validation le plus int'eressant.
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