Evaluation des fonctions usuelles sur des variables complexes: algorithmisation des calculs et programmation

Chapitre I : Le Corps C des nombres complexes

I. 1. Historique des nombres complexes

I. 1. 1. Formule de Cardan

Au 16^ème siècle, des mathématiciens italiens de la Renaissance travaillèrent sur la résolution des équations du troisième degré. Afin de calculer des solutions, réelles pour certaines, ils furent amenés à introduire des nombres non réels. (^5(*))

En 1545, Jérôme Cardan (^6(*)) publie l'Ars Magna dans lequel il fournit des formules de résolution d'une équation de la forme avec p et q des entiers strictement positifs. Il développe et complète des méthodes empruntées à Nicolo Tartaglia et découvre que :

Si alors le réel positif est solution de l'équation.

Dans cette formule, le nombre noté , pour dans [0, +8[, est le nombre positif qui, élevé au cube, donne . On l'appelle « racine cubique de  »

I. 1. 2. L'audace de Bombelli

Imposant à l'équation de CARDAN les conditions p=15 et q=4, Bombelli montre que la solution de l'équation peut s'écrire :

,

mettant en évidence le fait que des nombres réels peuvent être désignés par des expressions « imaginaires ». Prendre la racine carrée d'un négatif, il fallait oser !

Mais comme cette audace permet d'obtenir des résultats, les imaginaires sont de plus en plus utilisés avec confiance.

I. 1. 3. Apport des autres mathématiciens

Au milieu du 18^ème siècle, Euler propose de remplacer par i, donc i² = -1, et d'Alembert montre que tous les imaginaires inventés, que GAUSS appellera plus tard nombres complexes, sont de la forme avec x et y des réels.

C'est par l'intermédiaire de ces nombres que Raphaël Bombelli retrouva une des solutions réelles de l'équation . L'introduction du nombre i semble alors justifiée algébriquement. Conjointement, il énonce les règles de calcul sur ces nombres. L'apparition au 16^ème siècle de ces nouveaux nombres entraîna de vives polémiques.

En 1637, Descartes leur donna le nom d'imaginaires. Il fallut attendre deux siècles pour qu'ils obtiennent de la communauté mathématique un réel statut.

* ⁵ BELTRAMONE, J. P. et al, DECLIC Maths, Terminal S/Enseignement obligatoire, Ed. Hachette, Paris, 2002

* ⁶ Jérôme CARDAN de l'Italien Hieronimo CARDAN : médecin, astrologue, poète et mathématicien italien (Pavie 1501 - Rome 1576)