Evaluation des fonctions usuelles sur des variables complexes: algorithmisation des calculs et programmation

0. INTRODUCTION

0. 1. Problématique

Les divers nombres sont apparus pour faire face à diverses nécessités notamment pour trouver des solutions à certaines équations jugées impossibles. Leur usage s'est généralisé en même temps que les règles qu'ils nécessitent se trouvaient mieux connues.

Ainsi a-t-on vu apparaître les nombres relatifs, les nombres fractionnaires (rationnels), les nombres irrationnels. Chaque type de ces nombres répondait à un problème nouveau.

Les nombres complexes, eux aussi, sont d'une grande importance dans la résolution des problèmes non pas seulement en mathématique pure mais aussi et surtout dans les mathématiques appliquées et les sciences physiques. Introduits dans les fonctions élémentaires usuelles, ces nombres confèrent auxdites fonctions de nouvelles propriétés.

Par exemple, « la fonction exponentielle à variable complexe e^z devient périodique, les fonctions sin z et cos z cessent d'être bornées, le logarithme des nombres négatifs (et, en général, de tout nombre complexe non nul) prend un sens ». (^1(*))

La grande question à se poser est la suivante :

« Quels sont les algorithmes (opérations) à utiliser pour chaque type de fonctions pour en calculer la valeur numérique lorsque la variable principale est complexe ? »

Toutefois, quoique ces algorithmes trouvés, se posera le problème de lenteur et aussi ne serons-nous pas à l'abri des erreurs. Ainsi, posons-nous la question :

« Comment procéder ou que faire pour pallier aux difficultés liées à la lenteur et aux erreurs de calcul ? »

Les réponses à ces deux questions feront l'objet de notre étude.

0. 2. Hypothèses

L'étude des fonctions multiformes dans le domaine complexe est d'une importance particulière car seule une telle étude permet d'expliquer la nature de leur multiformité. En effet, il y a possibilité de dégager sur certains exemples de fonctions multiformes des branches uniformes qui s'avèrent des fonctions analytiques.

En outre, grâce au théorème de Gauss sur la nature du Corps C des nombres complexes, l'évaluation des fonctions numériques usuelles sur des valeurs complexes est rendue possible. Les opérations fondamentales définies sur des réels sont aussi valables pour des complexes.

Ceci est une généralisation de la notion de fonctions à variables réelles aux variables complexes. Les nouvelles fonctions enrichies en propriétés (fonctions à variables complexes) sont un prolongement naturel des fonctions élémentaires usuelles en analyse au domaine complexe. Certes, comme l'avons-nous souligné plus haut, par un tel prolongement ces fonctions s'enrichissent parfois de nouvelles propriétés.

Dans ce travail, nous allons proposer des algorithmes pour chaque type de fonctions afin d'en calculer la (les) valeur(s) lorsque la variable prend des valeurs complexes. (^2(*))

Ces algorithmes, bien entendu, donneront les résultats connus dans IR lorsque appliqués aux nombres complexes particuliers qui sont les réels.

Enfin, en vue d'éviter la lenteur et les erreurs dans ces genres de calcul, nous avons pensé nécessaire qu'une fois les algorithmes trouvés, il faille automatiser le travail de calcul en concevant des programmes informatiques en langage Visual Basic.

* ¹ Lavrentiev, M. et Chabat, B. (1972), « Méthodes de la théorie des fonctions d'une variable complexe », Mir, Moscou

* ² Certaines parmi ces fonctions seront multiformes.