I.II.3.3 4 VALUE-AT-RISK EXTREME
Nous pouvons reconnaître qu'il existe une similitude
certaine entre le concept de Value-at-Risk et la méthode d'approche des
queues de distribution des lois de valeurs extrêmes. Unir ensemble ces
deux fondements pourrait indubitablement donner un véritable outil de
contrôle du risque. Formulé précédemment, la
propriété des extrêmes peut être faite de deux
façons distinctes :
§ Par la méthode des maximums d'une série
de variable aléatoire dans le temps : La méthode BM
§ Par la méthode du seuil en prenant l'ensemble
des valeurs se situant entre [    ] : La
méthode POT
Dans ce papier de recherche, nous utilisons la dernière
méthode énoncée qui représente la plus
récente, mais aussi la plus efficace des méthodes connues sur ce
sujet. De plus, ce modèle se révèle être pratique
dans le fait qu'il considère un nombre limité de
donnée.
Afin de construire le modèle de Pareto
généralisée, nous allons donner un seuil u
important. Soit Y1, Y2, ...,
Yn, les données supérieures au seuil
défini comme   . Belkema
et de Haan en 1974 comme Picklands en 1975 nous enseignent que   est une
estimation assez importante de u. A partir de   , prenons
  , nous
pouvons approximer F(x), pour x > u.
Nous obtenons :
La fonction F(u) peut être
estimée empiriquement de façon non-paramétrique par la
fonction de distribution cumulative :
Où  
représente le nombre d'occurrence supérieure au seuil u
et n l'échantillon. En corroborant   et   à
  , nous
pouvons ainsi écrire :
Les paramètres   et   sont
estimés à partir de î et  
respectivement, obtenus à partir du maximum de vraisemblance.
Pour q > F(u), la VaRq peut
être calculé en résolvant x :
Dans lequel u est le seuil défini,   est
l'estimation du paramètre d'échelle et   est
l'estimation du paramètre de localisation.
Le principal avantage de cette mesure non-paramétrique
réside dans le fait qu'elle se concentre exclusivement sur les queues de
distribution. Cependant, nous pouvons en conclure que cette méthode ne
considère pas les rendements comme indépendants et identiquement
distribués les uns des autres.
| 
