Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

I.II.1.2.2 Loi de Gauss

La loi normale fait partie de la famille des lois continues^21(*). Elle est associée aux noms de Carl Friedrich Gauss et de Pierre Simon Laplace. Appelé, le théorème central limite, celui-ci indique que la somme des variables est distribuée de façon aléatoire et indépendante lorsque le nombre de données dans la somme augmente. Cette loi est définie par la moyenne, et la variance parce qu'elle est symétrique par rapport à la tendance centrale. Nous exprimons la fonction de densité de probabilité de la loi normale avec comme :

La loi normale a une tendance centrale nulle et un écart typeégale à 1. Nous avons donc par définition. Puisque, pour toute variable centrée et réduite, la médiane, la moyenne et le mode sont confondus. Pour exprimer la continuité de ce théorème, nous pouvons écrire la fonction de distribution cumulée pour :

Si les différents écarts-types pris un à un sont dérisoires par rapport à l'ensemble, le théorème de la limite centrale reste valide. La distribution gaussienne d'écart-type proportionnel à représente la différence entre le moyenne empirique de l'échantillon et l'espérance de la variable aléatoire. L'approximation de la moyenne théorique par la moyenne empirique permet de contrôler l'erreur énoncée précédemment. La probabilité que soit dans l'intervalle se retrouve représentée par l'aire sous la courbe comprise entre les abscisses et . Sur les marchés financiers, la plupart des mouvements sont inférieurs à une fois l'écart-type. Cette mesure représente 68% des amplitudes à la hausse comme à la baisse. 95% doivent être à moins de deux écarts-types et 98% à moins de trois écarts-types. Selon cette loi de probabilité, il existe très peu de grands mouvements.

La thèse de L. Bachelier fut largement ignorée par ses contemporains. Cependant, ses travaux furent traduits, réédités, puis développés pour aboutir au grand édifice de l'économie et de la finance moderne^22(*).

* ²¹ Une loi de probabilité est dite continue lorsqu'elle se rapporte à une mesure de Lebesgue. Pour plus d'explication, se référer à l'ouvrage de G. Saporta : « Probabilités, analyse des données et statistiques ».

* ²² Développée initialement par H. Markowitz en 1954