Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

Conclusion

Ces résultats, montrent _que dans le cas d'une famille de densités _gaussiennes et celle d'une famille de densités de Gumbel, les deux approches d'estimation ont donné des résultats très proches (voir fi_gure 9).

En prati_que, l'utilisation de l'approche paramétri_que nécessite un choix ri_goureux des paramètres a estimer, dans le cas oii les données sont des réalisations de variables aléatoires dont les densités sont s_ymétri_ques, l'h_ypothèse de normalité permet un choix simple de ces paramètres, contrairement au cas oi on dispose, soit de densités as_ymétri_ques soit d'un mélan_ge de densités s_ymétri_ques et as_ymétri_ques oii un tel choix n'est _guère évident, d'oi l'intérêt d'utilisation de l'approche d'estimation non paramétrique.

24%

	40%
ACP théorique

Famille de densités de lois N(t,/t)

Famille de densités de Gumbel

ACP théori_que

26%

26%

42%

22%

72

72 62
.

-

36%

-0.3 -0.5 -07

43%

ACP paramétri_que

ACP paramétri_que

23% 00
		38%
	ACP par noyau

ACP par no_yau

⁰¹

⁰

⁰⁵

⁰⁷

46%

26%

0

Fi_g.9: Comparaison sur le premier plan principal, entre l'approche paramétri_que et non paramétri_que.

. 1

1 16

7

. 18

cas de famille de densités de loi N(t.../t) et celle de famille de densités de Gumbel.

0

Chapitre 3

Influence du noyau sur l'ACP de densités

estimées

3.1 Introduction

Pour étudier l'influence du no_yau sur la _qualité de l'estimation d'une ACP de densités, nous avons considéré les deux cas particuliers suivants.

i) Les estimations fht de ft, t E {1,...,L} sont obtenues en utilisant des fenêtres ht minimisant les erreurs _quadrati_ques inté_grées as_ymptoti_ques _qu'on notera par: AMISEt, t E {1,..,L} et cela pour les no_yaux _gaussien, trian_gulaire, Epanechnikov et rectan_gulaire et des tailles d'échantillons é_gales a 30, ?t E {1,...,L}

ii) Les différentes estimations de ft, t E {1,..,L} sont obtenues en utilisant:

1. La fenêtre noté h(t) G dans le cas du no_yau _gaussien, avec nt = 30, ?t E {1,...,L}.

2. La fenêtre noté h(t) T dans le cas du no_yau trian_gulaire, avec nt = 30, ?t E {1,...,L}.

3. La fenêtre noté h(t) E dans le cas du no_yau d'Epanechnikov, avec nt = 30, ?t E {1,...,L}.

4. La fenêtre noté h(t) R dans le cas du no_yau rectan_gulaire, avec nt = 30, ?t E {1,...,L}.

tel _que:

pour t E {1,...,L}, les h(t)

G , h(t)

T , h(t)

E et h(t)

R vérifient les conditions données par la relation (2.13). On compare alors les ACP estimées par no_yau, en se basant sur les deux critères définis dans le para_graphe 2.5.

On présentera ici 4 exemples de simulation:

~ Cas d'un nua_ge de densités bimodales s_ymétri_ques, représenté par l'exemple de la famille de densités de loi¹ 2N(t,vt) +¹ ₂N(0,vt), t {1,...,30}.

~ Cas d'un nua_ge de densités bimodales as_ymétri_ques, représenté par l'exemple de la famille de densités de loi¹ 2N(t,vt) +¹ ₂N(0,1), t {1,...,30}.

~ Cas d'un nua_ge de densités unimodales s_ymétri_ques, représenté par l'exemple de la famille de densité de loi N(t,vt), t {1,...,30}.

~ Cas d'un nua_ge de densités unimodales as_ymétri_ques, représenté par l'exemple de la famille de densités de Gumbel de paramètre de position ut = t+ç ^v6vt et de paramètre d'échelle

Ð

v6 vt, avec ç = 0.5772 (constante d'Euler), t {1,...,30}. ót = Ð

Soit (xt,1,...,xt,n), t {1,...,30}, n réalisations de la variable aléatoire Xt de densité ft, on

fait alors une ACP de densités dans les cas des 4 exemples précédents_;

1. Sur les densités théori_ques.

2. Sur les densités estimées en utilisant:

- Le no_yau _gaussien.

~ Le no_yau trian_gulaire.

- Le no_yau d'Epanechnikov.

~ Le no_yau rectangulaire.