Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

2.5 Comparaison entre l'approche paramétrique et non paramétrique

L'objectif de ce présent para_graphe est de proposer, a l'aide des deux exemples concernant la famille de densités _gaussiennes et la famille de densités de Gumbel, une comparaison entre les deux approches d'estimation (paramétri_que et nonparamétri_que) dont le but est de distin_guer la_quelle est mieux adaptée aux situations précédentes.

Pour cela nous avons choisi de faire cette comparaison en se basant sur les deux distances suivantes:

i)Si àcj,t est l'estimation de la coordonnée de la densité ft sur l'axe principal j , on définit áj comme la distance entre les deux vecteurs C^à et C de IR^L dont les composantes sont respectivement ^àcj,t, cj,t (t ? {1,...,L}):

áj = _XL |^àcj,t - ci,t| (2.52)

t=1

ii)Si ^àët, t ? {1,...,L} est l'estimation de la valeur propre ët de la matrice des produits scalaires théori_ques, en définit â comme la distance entre les deux vecteurs de IR^L de coordonnées respectivement ^àët, ët, par:

â = _XL |^àët ? ët| (2.53)

t=1

Remar_que

Les vecteurs C et Cà étant des vecteurs propres de W et W^à respectivement, ils sont définis au si_gne près_; ces si_gnes sont choisis de sorte _que le coefficient de corrélation linéaire entre C et Cà soit positif.

On fait alors une ACP de densités estimées dans les deux situations suivantes:

Lors_que les densité sont estimées en utilisant l'approche paramétri_que, avec n = 30, L = 30.

Lors_que les densités sont estimées par no_yau en associant a cha_que densité la fenêtre optimale au sens de l'erreur _quadrati_que inté_grée as_ymptoti_que, avec n = 30, L = 30.

Les valeurs des distances (áj)j=1,3 et , ainsi _que les pourcenta_ges d'inertie expli_qués par les trois premiers axes principaux obtenus par les deux approches d'estimation, sont données dans le tableau 2.

	Famille de densités de Gumbel		Famille de densités de loi N(t,V't)
	ACP paramétrique	ACP non paramétrique (noyau gaussien)	ACP paramétrique	ACP non paramétrique (noyau gaussien)
á1	1.76	1.92	1.00	1.43
á2	2.23	2.31	1.44	1.64
á3	1.60	1.71	2.34	2.37
â	1.07	1.61	1.50	2.81
Inertie1	36%	38%	43%	46%
Inertie2	22%	23%	26%	26%

Tab.2 Valeurs des (aj)j=1,3, â et les pourcenta_ges d'inerties expli_qués par les deux premiers axes principaux lors
d'une ACP estimée paramétri_quement et non paramétri_quement en utilisant le no_yau _gaussien.

(cas de la famille de densités de lois N(t,V't) et celle de la famille de densités de Gumbel)