1.4 Méthodologie de Box-Jenkins
L'approche de Box-Jenkins (1976) consiste en une
méthodologie rigoureuse d'étude systématique des
série chronologique a partir de leur caractéristique. L'objectif
est de déterminer le modèle le plus adapté a
représenter le phénomène étudié. Il faut
bien noter qu'il est tout a fait possible d'obtenir plusieurs modèles
satisfaisants. Cette méthodologie suggère une procédure a
trois étapes :
- Identification du modèle : dans cet étape, on
va étudier le corrélogramme simple et partiel correspondant, tel
que le corrélogramme simple correspondant l'ordre du processus MA et
simple leprocessus AR.
- Estimation des paramètres du modèle.
- Validation du modèle par tests sur les coffi cients et
sur les résidus.
1.4.1 Test sur les résidus
Il existe un grand nombre de tests d'autocorrélation, les
plus connus sont ceux de Box et Pierce (1970) et Ljung et Box (1978).
Test de Box-Pierce ( Porte-monteau)
Soit une autocorrélation des erreurs d'ordre h( h > 1)
:
t = Pi t_i + P2 t_2 + ~~ ~ + Ph
t_h + Vt avec Vt J'f (0,cr2 )
~
Les hypothèses du test de Box-Pierce sont les suivantes
:
J
H0 : P1 = P2 = ~ ~ ~ ~ ~ ~ = Ph = 0 H1 : il existe au moins un
P =6 0 Pour effectuer ce test, on a recours a la statistique QBP qui
est donnée
par:
QBP = T XH ^P2 h
h=1
on T est le nombre d'observations et ^Ph est le
coefficient d'autocorrélation d'ordre h des résidus
estimés et.
Sous l'hypothèse H0 vraie, QBP suit la loi du
khi-deux avec (H - p - q) degrés de liberté :
|
QBP = T
|
XH
h=1
|
^P2 h ~! x2 (H -- p -- q)
T--oo
|
Pour effectuer ce test il est conseillé de choisir H = T 4
(d'aprés Box-Jenkins).
La règle de decision
Si QBP > k* on k* est la valeur
donnée par la table du khi-deux pour un risque fixé et un nombre
(H - p - q) de degrés de liberté, on rejette H0 implique que les
"t ne forment pas un bruit blanc. Sinon, on accepte H1 (autocorrélation
des erreurs).i.e les €t forment un bruit blanc.
Test de Ljung-Box
Ce test est a appliquer, de préférence au test
de Box-Pierce. La distribution de la statistique du test de Ljung-Box est en
effet plus proche de celle de khi-deux en petit échantillon que ne l'est
celle du test de Box-Pierce. La statistique de test s'écrit :
|
QLB = T (T + 2)
|
XH
h=1
|
^P2 h
|
|
|
T -- H .
|
Sous l'hypothése nulle d'absence d'autocorrélation
:
^P2 1 = ^P2 2 = ~ ~ ~ = ^P2 h = 0.
La statistique QLB suit une loi de khi-deux a (H - p -
q) degrés de liberté.
Tests d'hétéroscédasticité (ARCH)
Le test ARCH consiste a effectuer une régression
autorégressive des résidus carrés sur q retard :
e2 t = 0 + X q j e2 t_3
j=1
on et désigne le résidu a l'instant t issu de
l'estimation des paramètres du processus ARMA (p,q).
Pour déterminer le nombre de retards q, on étudie
le corrélogramme des résidus au carré.
Les hypothèses du test ARCH sont les suivantes :
J
H0 : homoscédasticité et Oo = O1 = ~ ~ ~ =
Oq = 0 H1 : hétéroscédasticité et il y a
au moins un coefficient O =6 0
Pour mener le test, on utilise la statistique de test T x
R2 on T correspond au nombre d'observations de la série et et
R2 représente le coefficient de détermination
associé a la régression.
Sous l'hypothèse H0 la statistique de test T x
R2 suit la loi du khi-deux a q degrés de liberté.
La règle de décision
- Si T x R2 x2(q) on x2(q)
désigne la valeur critique figurant dans la
table du khi-deux, on accepte ici l'hypothèse H0
d'homoscédasticité. - Si T x R2 > x2(q),
on rejette ici l'hypothèse H0 d'homoscédasticité
et on admet qu'il y a de
l'hétéroscédasticité.
Tests de normalité
Pour vérifier si le processus des résidus
{€t, t Z} est un bruit blanc gaussien, plusieurs tests peuvent être
utilisés, mais le test le plus courant est celui de Jarque et Bera. Ce
dernier est fondé sur la notion de skewness et de kurtosis.
Le test de Jarque et Bera regroupe ces deux tests en un seul
test. On construit la statistique :
T
S = 6 Sk + 24 (Ku - 3)2 -!
T T i--oo x2 (2)
Donc si S ~ x2 1_a (2) on rejette l'hypothèse H0 de
normalité des résidus au seuil de a%.
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