Implantation d'algorithme de filtrage numérique sur FPGA(réseau de portes programmables)

I.13. Caractéristiques des filtres numériques

Un filtre numérique peut être caractérisé par :

II.5.1 La réponse impulsionnelle

Si l'entrée d'un système est l'impulsion la sortie est appelée répense impilsionnelle

du système Mathématiquement, cette impulsion est modélisée par une impulsion de

Dirac.

II.5.2 Principe de stabilité

Un système linéaire et invariant dans le temps (LTI) est stable si à toute entrée d'amplitude bornée correspond une sortie bornée. Une condition nécessaire et suffisante de stabilité est donnée par l'inégalité :

X(n)

+1 si h(n) =0

-1 si h(n) <0

Il convient alors pour n = 0 : (II.9)

Si l'inégalité (II.8) n'est pas vérifiée, y (0) n'est pas bornée et le système n'est pas stable.[11]

II.5.3 L'équation aux différences (récurrence)

Un filtre analogique peut être défini par une équation différentielle, de même manière un filtre numérique est défini par une équation de récurrence ou de différence (algorithme permettant de calculer la sortie y(n)). D'une façon générale, l'algorithme d'un filtre numérique d'ordre N linéaire causal a une relation de récurrence du type :

(II.10)

Donc :

(II.11)

Avec b(0)=1, nous obtenons :

(II.12)

· sont des coefficients dépendant du type de filtre numérique réalisé.

· représente l'échantillon de l'entrée.

· représente l'échantillon de la sortie.

II.5.4 la fonction de transfert d'un filtre numérique

Les filtres numériques travaillent avec des suites de nombres. A partir d'une suite d'entrée x(n) ils délivrent une suite de sortie y(n) .A chacune de ces suites on peut associer une transformée en z et nous montrerons qu'il existe une fonction de transfert H(z), donc, un filtre est caractérisé par sa fonction de transfert en Z, désignée généralement par H (z), et qui fait intervenir les coefficients par l'équation suivante : [12]

(II.13)

(II.14)

? transformée en Z

A l'image de la Transformée de Laplace en analogique de variable p, il existe aussi une transformée en numérique appelée Transformée en Z de variable z

Soit une séquence x(n) de nombre réels.la transformée en z ,Xz(Z) ,de la séquence x(n) est définie comme suit :

(II.15)

Donc :

Et :

(II.16)

(II.17)

En appliquant la transformation en Z aux deux membres de l'équation (II.12), et en désignant par et les transformés des suites y (n) et x (n), on obtient :

	(II.18)
Donc la fonction de transfert H(Z) :
		(II.20)

Avec :

(II.21)

(II.22)

Cette fonction de transfert peut encore se mettre sous la forme :

Le terme est un facteur d'échelle qui définit le gain du filtre. La condition de stabilité

du filtre s'exprime très simplement par la contrainte suivante : tous les pôles doivent

être a l'intérieur du cercle unité. La position des pôles et des zéros par rapport au cercle

unité, permet une appréciation très simple et très utilisée des caractéristiques du filtre.

Pour obtenir la réponse en fréquence du filtre, il suffit de remplacer dans H (Z) la variable Z par l'expression suivante oü f désigne la variable fréquence et T la période d'échantillonnage des signaux :

(II.23)