Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

Définition 1.3.21 : (Produit tensoriel)

Soient E et F deux K-espaces vectoriels, x E E et y E F.On appelle produit tensoriel de E par F, l'ensemble E ® F défini par :

E®F={x®y;xEE,yEF}

Dans tout ce qui suivra, M désigne une variété différentiable de dimension n. Définition 1.3.22 : (Tenseur covariant)

Un tenseur du type (⁰) ou p-fois covariant au point x E M est une forme p-linéaire p

sur T_xM.

On désigne par ®^pT_x^* M = TP l'espace des p-formes linéaires sur T_xM.

Exemple 1.4 : Un tenseur 2-fois covariant ou du type (⁰₂) est une forme bilinéaire sur

T_xM x T_xM

1.4. Rappels de géométrie lorentzienne

Définition 1.3.23 : (Tenseur contravariant)

Un tenseur de type (^q₀) ou q- fois contravariant au point x E M est une forme q-linéaire sur T_x^*M, où T_x^*M est le dual algébrique de T_xM.

On désigne par ®qT_xM = T^q_x0 l'espace de toutes les q-formes linéaires sur T_x^*M. Définition 1.3.24 : (Tenseur mixte)

Un tenseur du type (^q) ou tenseur p-fois covariant et q-fois contravariant au point p

x E M est une p-forme linéaire sur T_xM et q- forme linéaire sur T_x^*M.

On désigne par ®^q_pT_xM = T^qxp l'ensemble des tenseurs du type (^q) au point x E M.

p

Définition 1.3.25 : (Fibré tensoriel)

On appelle fibré tensoriel, la variété différentielle T_p^q M définie par :

T_p^qM = ux?M({x} x T^qxp)

.

Définition 1.3.26 : (Champ de tenseur)

Un champ de tenseur de type (^q) sur M est une application

p

T:M--*T_pqM xi-?T(x)

où T(x) = (x, t_x) t_x E T^qxp.