1.4 Rappels de géométrie lorentzienne
Convention de sommation d'Einstein :
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n
sur K et B = {e1, e2, , en}
une base de
|
E. Soit x E E alors, x =
|
n
Q
i=1
|
xiei ; xi E K.
|
Mémoire de MASTER
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L'indice i sur lequel on effectue la sommation est
appelé indice muet. La convention de sommation
d'Einstein consiste à supprimer le symbole de sommation ? et d'indiquer
l'indice muet apparaissant en bas et en haut. Ainsi l'écriture de x
E E dans la base B
devient : x = xiei avec i E
{1, 2, , n}.
Dans toute la suite, V4 désigne la
variété différentiable de dimension 4, le corps de base R.
On adopte la convention de sommation d'Einstein où les indices grecs
á, â, ã, .... sont les éléments de
{0,1, 2, 3} et les indices latins
i, j, k, .... les les éléments de {1,
2, 3}.
1.4. Rappels de géométrie
lorentzienne
Définition 1.4.1 : (Variété
Lorentzienne)
Une variété Lorentzienne est la donnée
du couple (M, g) où M est une variété
différentielle de dimension 4 et g un champ de tenseur
covariant de type 2 et de classe C8 sur M
appelé métrique et vérifie:
i-) g est symétrique;
ii-) ?x E M, g induit sur TxM une forme
bilinéaire non dégénérée
gx : TxM x
TxM ? R;
iii-) g est de signature (+, -,
-, -) ou (-, +, +, +) et
on dit que g est de signature hyperbolique.
Remarque 1.4.1 : 1-) Dans la
définition précédente, iii-) signifie que à g
,on associe une forme quadratique admettant une décomposition en un
carré positif et trois carrés négatifs ( ou en un
carré négatif et trois carrés positifs ).
2-) Dans un repère (eá)á
de V4, g s'écrit en coordonnées
locales g =
gáâdxádxâ. On dit
alors que g est une matrice carrée d'ordre 4 dont les
composantes sont les gáâ.On note alors g
= (gáâ)á,â. g étant par
définition inversible, son inverse g-1 est
noté (gáâ)á,â et on a :
gáãgãâ =
8á â (symbole de Kronecker) avec gáâ
= gâá. Mais on a aussi comme dans [3]
gáâgáâ = dimV4
= 4.
Définition 1.4.2 : (Repère
orthonormé)
Le repère (eá)á est dit
orthonormé dans (V4,g) si g s'écrit de la forme :
3
|
g = ds2 =
(dx0)2 -
|
Q
á=1
|
(dxá)2
|
3
|
dont de signature (+, -, -,
-) ou de la forme g = ds2 =
-(dx0)2 +
|
Q
á=1
|
(dxá)2 dont de
signature
|
Mémoire de MASTER
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(-, +, +, +). Un
événement x E V4 est représenté par
(x0, xi) avec x0 = t appelé
coordonnée temporelle et xi coordonnées de l'espace.
Ainsi pour tout système de coordonnées locales dans V4, x0
représente le temps t et xi l'espace. Cette
représentation vient de Minkowski (1908).
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