Définition 1.4.3 : (Espace-temps)
Un espace-temps est la donnée d'un couple (M,g)
où (M,g) est une variété Lorent-zienne.
1.4. Rappels de géométrie
lorentzienne
Exemple 1.5 : 1.) L'espace-temps de
Minkowski
(1184,g) est l'espace-temps de Minkowski
où la métrique g dite de Minkowski est
définie
3 3
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par : g = -(dt)2 +
|
|
(dxi)2 ou g =
(dt)2 -
|
|
(dxj)2 avec les matrices de
g dans la base
|
|
i=1 j=1
canonique de 1184 données respectivement par
:
2.) L'espace-temps de Sitter
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' -1
0
- - - - - - - - 0
» 0
|
0 1 0 0
|
0 0 1 0
|
0 «
0
-- -- -- -- -- -- -- --
0
1
·
|
et
|
' 1
0
- - - - - - - - 0
» 0
|
0 -1 0 0
|
0 0 -1 0
|
0 « 0
-- -- -- -- -- -- -- --
0
-1
·
|
(118 × S3, h) est
l'espace-temps de Sitter. S3 désigne la
sphère unité de 1184 et la métrique h
s'écrit : h = dt2 -
a2ch2(ta)[dw2
+ sin2w(d02 +
sin20d?2)] avec : t E 118
,w E 118+ , a E 118* , 0 <
0 < 7r , 0 < cp < 27r. h
a pour signature (+,-,-,-) avec h00 =
1, h11 =
-a2ch2(ta)
, h22 =
-a2ch2(ta)sin2w
, h33 =
-a2ch2(ta)sin2wsin20
et les autres coefficients sont tous nuls. 3. L'espace-temps de
Schwarzschid
La métrique de Schwarzschild est définie par :
r )dt2 + (1 -
2m)-1dr2 +
r2(d02 + sin2
042) r
2m
avec pour signature (-, +, +, +) ;
g00 = -(1
gSchw = -(1
2m
2m
) , g11 = (1- )-1 , g22 =
r2 , g33 = r2
sin2 0
r r
et tous les autres coefficients nuls.
Remarque 1.4.2 : Un élément
u de TxV4 est encore appelé vecteur
contravariant et ses composantes dans une base
(eá)á de
TxV4 sont notées uá i.e : u
= uáeá. Un
élément u* de Tx*V4 est
encore appelé vecteur covariant et ses composantes dans la base duale
(0á)á de
(eá)á sont notées
u*á, i.e u*
=
u*á0á.
On sait que g = gx : TxV4 ×
TxV4 ? 118 est une forme bilinéaire symétrique dont
?u , v E TxV4, u fixé,
l'application v H g(u, v) est une forme
linéaire sur TxV4, donc u* =
g(u, .) E Tx* V4.
On a : u* =
u*á0á
où u*á =
u*(eá). D'où :
u*
á =
u*(eá) = g(u,
eá) =
uâg(eâ,eá) =
gáâuâ
Par analogie avec l'inverse gáâ
qui est une forme bilinéaire symétrique sur
Tx* V4, on associe à tout vecteur
covariant u* E Tx*
V4 un vecteur contravariant par uâ =
gáâu*á.
Ainsi g
Mémoire de MASTER 12
Mémoire de MASTER
13
1.4. Rappels de géométrie
lorentzienne
permet d'associer canoniquement à tout vecteur
contravariant u un vecteur covariant u* et
réciproquement. Par la suite,u sera identifié à
u* et on parlera de u tout simplement et de ses
composantes covariantes uá et contravariantes
uâ liées par les relations uá
= gáâuâ et uá
= gáâuâ.
La généralisation de ce résultat aux
tenseurs d'ordre p quelconques est immédiate car un
tenseur est une combinaison de tenseurs
élémentaires de la forme x1 ? x2 ? ?
xp . On a
donc : Táâ =
gáãgâuTãu ,
Táâ =
gáãgâuTãu ,
Tâá =
gáuTuâ ,
Tâá = gâuT uá
| 
