Définition 1.4.4 : (Métrique
Riemannienne)
Une métrique Riemannienne sur une
variété différentiable M est une application g E
C8(M) telle que ?x E M, g(x) est un
produit scalaire sur TxM (l'ensemble des vecteurs tangents à
M en x).
Définition 1.4.5 : (Variété
Riemannienne)
Une variété Riemannienne est la
donnée d'un couple (M, g) où M est une variété
différentiable et g une métrique Riemannienne.
Définition 1.4.6 : (Connexion
linéaire et Symboles de Christoffel) Une connexion
linéaire sur V4 est la donnée d'une application
? : TV4 * T*V4 ?
TV4
v H ?v
définie sur les champs de tenseurs
différentiables sur V4 et vérifie pour toute fonction
différentiable
cents ····
····
|
?(u + v) = ?u + ?v
(linéarité)
?fu = df ? u + f?u
(règle de Leibnitz)
|
(1.1)
|
?v est appelé la dérivée covariante
(ou la différentielle absolue) de v. Si v =
váeá dans la base
(eá)á de
TxV4 alors de (1.1), on
déduit que ?v =
vá?eá +
dvá ? eá. Les composantes
locales du tenseur mixtes ?v notées
?ávâ sont donc données par
:
?ávâ =
8ávâ + Fâ
áñvñ (1.2)
Les coefficients Fâ áñ de la
relation (1.2) sont appelés symboles de
Christoffel associés à la connexion
?.
1.4. Rappels de géométrie
lorentzienne
Remarque 1.4.3 : Les composantes covariantes
locales du tenseur ?v notées
?ávâ sont données par
?ávâ = aávâ -
ñáâvñ
_
où 8Já = ?
?xá
Remarque 1.4.4 : 1.)
?(df) est un tenseur
symétrique et par commutativité de la dérivée
partielle seconde,on déduit que
ñáâ =
ñâá.
2.) La dérivée covariante de la métrique
g est nulle c'est-à-dire ?g = 0 et on déduit
que
Oñgáâ -
uñáguâ -
uñâgáu = 0
i.e âñgáâ =
uñáguâ
+ uñâgáu
(1.3)
Proposition 1.4.1 : Les coefficients de
Christoffel en coordonnées locales s'obtiennent du tenseur
métrique par :
|
ñ áâ =
|
1
2
|
gñu(aáguâ
+ aâgáu - augáâ)
(1.4)
|
Mémoire de MASTER
14
Preuve : D'après
(1.3) on a :
aáguâ =
ñáugñâ
+
ñáâguñ
aâgáu
= ñâágñu
+
ñâugáñ
augáâ
=
ñuágñâ
+ ñ uâgáñ
Et donc
gñuaáguâ =
ñáugññugñâ
+
ñáâgñuguñ
= ñáu8uâ +
ñáâ
gñuaâgáu =
ñâágñugñu
+
ñâugñugáñ
= ñâá +
ñâuäuá
uáäu â+
ñâuäuá
gñuaugáâ =
ñuágñugñâ
+
ñâugñugáñ
= ñ
Ainsi,
gñu(aáguâ
+ aâgáu - augáâ) =
ñáâ +
ñáâ +
ñáâ +
ñâá - ñ
âá - ñ áâ = 2ñ
áâ
D'où le résultat. Ì
Mémoire de MASTER
15
1.4. Rappels de géométrie
lorentzienne
1.4.1 Dérivée covariante d'un champ de
tenseurs
Soient (eá)á la
base naturelle de Tqp V4 et
(èá)á sa base
duale alors, on peut montrer (voir [6]) que si
Tá1....áp
e 0....0e ?
èâ1 ? .... ?
èâq
â1....âq á1
an
est un tenseur de type q
·
quelconque, alors sa dérivée covariante p
?íT
á1....áp â1....âq
eá1 ? .... ? eáp ?
èâ1 ? .... ?
èâq
|
est un tenseur de type
|
q
p + 1
·
|
donné par
|
?íTá1....
â1....= ?íT
á1....
â1....+
á1íñTñ.... â1....+
- ñ íâ1T á1....
ñ.... - ....
où les termes comprenant les symboles sont au nombre
de q avec un signe + (un terme pour chaque indice contravariant) et au
nombre de p avec un signe - (un terme pour chaque indice
covariant).
|
Exemple 1.6 : Pour un tenseur de type
|
11
·
|
?íTâá
=?íTâá +
á íñTâñ -
ñíâTñá
| 
