Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

Définition 1.4.7 : (Tenseur de courbure)

Le tenseur de courbure ou tenseur de Riemann _Rãuáâ associé à la connexion linéaire ? est un tenseur de type ¹₃
· sur V4 défini localement par :

Rãuáâ = ?á^ã_uâ - ?â^ã_uá + ^ñ_uâ^ãñá - ñ uáã (1.5)

âñ

Proposition 1.4.2 : Le tenseur courbure _Rãuáâ est antisymétrique par rapport aux indices á, â c'est-à-dire

Rã = -R^ã

uáâ uâá

Preuve : De (1.5), on a :

Rãuáâ = ?á^ã_uâ - ?â^ã_uá + ^ñ_uâ^ãñá - ^ñuá^ãâ_ñ

et

Rãuâá = ?â^ã_uá - ?á^ã_uâ + ^ñuá^ã_ñâ - ^ñ_uâ^ãáñ

et comme ã áâ = ãâá, on a le résultat. Ì

Mémoire de MASTER

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1.4. Rappels de géométrie lorentzienne

Définition 1.4.8 : (Torsion d'une connexion)

On appelle torsion de la connexion linéaire ?, le tenseur T de type (¹ ₂) de composantes

locales :

T ã áâ = [ã áâ - [ãâá

Théorème 1.4.1 : (Théorème fondamental de la géométrie Riemannienne)

Sur une variété Riemannienne quelconque ( en particulier sur la variété Riemannienne (V4, g)), il existe une et une seule connexion linéaire vérifiant:

1-) ? est sans torsion c'est-à-dire T = 0;

2-) ? est g-métrique compatible avec g c'est-à-dire ?g = 0

Preuve : Voir [7] Ì

Définition 1.4.9 : (Connexion de Levi-Civita)

Une connexion linéaire vérifiant le théorème 1.3.1 est appelée connexion Riemannienne ou connexion de Levi-Civita.

Proposition 1.4.3 : (Identité de Bianchi)

?ñRã _áâu + ?âRã _áuñ + ?uRã áñâ = 0

Preuve : Voir [7] Ì

Définition 1.4.10 : (Tenseur de Ricci)

Le tenseur de Ricci est le tenseur de composantes locales Ráâ = Rã áãâ obtenu par contraction de l'indice supérieur et du deuxième indice inférieur du tenseur de courbure. Son expression en fonction des coefficients de Christoffel est :

Ráâ = 3ã[ã áâ - ?â[ã _áã + [ñ áâ^[ã ñã - [ñáã[ã âñ.

Ce tenseur est souvent noté Ricc(g).

Proposition 1.4.4 : Le tenseur de Ricci est un tenseur symétrique c'est-à-dire :

Ráâ = Râá

Mémoire de MASTER

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1.4. Rappels de géométrie lorentzienne

Preuve : En considérant différentes contractions des indices du tenseur de courbure, on

a :

Ráâ = Rã áãâ

= g^ãñRñáãâ = -g^ãñRáñãâ (d^'après la proposition 1.3.2)

= g^ãñRñáâã = Rã âãá (toujours d^'après la proposition 1.3.2)

= Râá