Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

Définition 1.4.11 : (Courbure Riemannienne)

La courbure Riemannienne R de (V4, g) est le scalaire obtenu par contraction des deux indices du tenseur de Ricci.

Il est défini par:

R = g^áâR_áâ

Proposition 1.4.5 : Par contraction de l'identité de Bianchi, on obtient :

?ñRáu - ?âRñá + ?uRã áñâ = 0

Par une autre contraction, on a :

?^ãSãu =0, où ?ã =g^ãó?óSãu ^et Sáâ = Ráâ - 1 ₂gáâR (1.6)

Mais aussi

?_ãSãu = 0 avec S^áâ = R^áâ - 1 2gáâR

Preuve : Voir [ 6] . Ì

Définition 1.4.12 : Le tenseur _Sáâ défini par la relation (1.6) est appelé tenseur d'Ein-stein et est souvent noté S(g) et on a donc

1

S(g) = Ricc(g) - ₂gR

.

* *

* *