Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

Chapitre Deux

Mémoire de MASTER

18

Université de Yaoundé 1

ÉQUATION

INTEGRO-DIFFÉRENTIELLE

NON LINÉAIRE OBTENUE DU

SYSTÈME D'EKG

La théorie de la relativité générale [Einstein, 1915] identifie la gravitation à la courbure de l'espace-temps issue de la présence de la matière et de l'énergie. D'après la formule consacrée, la matière dit à l'espace-temps comment se courber et l'espace-temps dit à la matière comment se mouvoir.

Le but de ce chapitre est d'exprimer la métrique dans l'espace-temps à symétrie sphérique définie par Christodoulou. D (1999) puis transformer le système d'équation non linéaire couplé d'EKG en une équation intégro-différentielle de premier ordre.

2.1 Espace-temps à symétrie sphérique

Définition 2.1.1 : (Variété Riemannienne symétrie sphérique)

Soit (M,g) une variété Riemannienne de dimension 3. (M,g) est dite à symétrie sphérique si :

1-) La variété M est représentée par une carte (U, ço) avec ço(U) = R³ ou l'extérieur d'une boule ouverte de R³ centrée en un point O. On définit par p, , ç les cordonnées sphériques dans ço(U) telles que si x, y, z sont les coordonnées canoniques(locales) de R³, on a les relations usuelles suivantes : x = psinesinç, y = psine cosç, z = pcose

.

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2.1. Espace-temps à symétrie sphérique

2-) Dans cp(U),on a : p = p0 = 0, 0 < e < 7r, 0 = ç < 27r, la métrique g est représentée par

e^h(P⁾dp² + f²(p)(de² + sin² edç²) (2.1)

où f et h sont des fonctions positives strictement croissantes.

La métrique (2.1) est la forme générale de la métrique invariante par rotation dans R3 centrée en O.

Remarque 2.1.1 : Le choix de la coordonnée r donnée par r = f(p) s'appelle le choix standard; ce choix est toujours possible lorsque f est une fonction croissante.

Définition 2.1.2 : (Métrique symétrique-sphérique dans l'espace-temps )

Considérons l'espace-temps (V4,'y) avec V4 contenu dans R³ x R tel que un point (quelconque) de V4 soit représenté par (x, t). Supposons que les sous-ensembles Mt = {t}xR³ sont des sous-variétés d'espaces, désignons par gt la métrique Riemannienne induite par 'y sur Mt. Les trajectoires des vecteurs â/ât étant supposées de même nature, L'espace-temps est dit à symétrie sphérique si :

i-) Toute variété Mt est une représentation de l'extérieur R³ - Bt de la boule ouverte Bt de R³ centrée à l'origine. Toute variété (Mt, gt) est à symétrique sphérique. Dans R3 - Bt, la métrique gt en coordonnées standards est

gt = ea(r,t)dr2 + r²(de² + sin² edç²)

ii-) Pour tout t, la longueur 'y et le représentant de la projection sur Mt du vecteur âlât tangent sont tous deux invariants dans le groupe de rotations défini ci-dessus.

On admet que sur V4, la métrique est de la forme

ds² = 'y_u dxudx^v = gQ + r²(de² + sin²edç²)

où 'yuv = guv et gQ est la métrique Lorentzienne sur la variété quotient Q(de dimension 2) sur V4 sous l'action de SO(3) groupe des rotations centrées à l'origine r = 0 de l'espace euclidien R³. La fonction 47rr² est l'aire des orbites des sphères S² du groupe SO(3) des isométries de 'y. Christodoulou considère le cas où la frontière de la variété quotient Q (de dimension 2) est représentée comme un sous-ensemble de R₊ x R₊ suivant les coordonnées u = 0 et r = 0 avec la métrique gQ de la forme

gQ = -e^2Adu² - 2e^v+~`dudr

2.1. Espace-temps à symétrie sphérique

où í et ë sont des fonctions de u et de r ; ce qui est équivalent à

gQ = -(e^ídu + e^ëdr)² + e^2ëdr²

ce qui donne la forme d'une métrique Lorentzienne. Ainsi la métrique ã est donc de la forme :

ds² = ã_uídxudx^í = -e^2ídu² - 2e^í+ëdudr + r²(dè² + sin²èdö²) (2.2)

Pour toute la suite , nous supposons que í et ë sont des fonctions de u et r qui tendent chacune pour tout u = 0 fixé vers 0 lorsque r -p +00 pour avoir un espace-temps asympto-tiquement plat.

Remarque 2.1.2 : Lorsque í = ë = 0, on parle de l'espace-temps de Minkowski.

La matrice ã et la matrice inverse ã-¹ associées à la métrique (2.2) sont définies respectivement par :

-e

et

1

0

1

'

- - - - - - - -

»

'

- - - - - - - -

»

r2 sin² è

0 ^-e-í-ë 0 0

-í-ë e-2ë 0 0

1

0 0 _r2

1

0 0 0

-e^2í -e^í+ë 0 0

-e^í+ë 0 0 0 0 0 r² 0

0 0 0 r² sin² è

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Lemme 2.1 : Les symboles de Christoffel non nuls de la métrique (2.2) sont :

P^uuu = -?íev-~` + ? (í + ë) Pr_r = ? (í + ë)

?r au Or

u -í-ë = -2ë

Pèè = re Pèè^r -re

Puöö = r sin2 èe-í-ë Pröö = -r sin² èe^-2ë

P^rur r = Pr u Or ^uu or

= ?í _eí-ë Pr = ?í e2(í-ë) -

?u ? (í + ë)e^í-ë

Pè -- P^è -- 1 rè - èr - r

Pèöö = - cos è sin è

1

P-P =coteB BC P-

P= _rrö ^--Or

Preuve : On applique la formule (1.4).
·

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2.1. Espace-temps à symétrie sphérique

Lemme 2.2 : Les composantes du tenseur de courbure de Ricci non nulles associées à la métrique (2.2) sont :

?2í+ (^av)² _ av âa + 2 ?í _e2(v-a) + _ev-a [-2 ? (í + ë) - ?2 (í + ëd

?r² ?r ?r ?r r ?r L

Ruu r Ou OrOu
Rèè = e^-2ë [r ?ë?r - ^?íRöö = r ?ë

?r
· - 1 + 1 ?r - ?í

?r
· - 1 sin² èe^-2ë + sin² è

2

Rur = Rru = ~?2í

?r2 + ^?í - ?í ?ë ?r ~ e^í-ë - ?²í 2 ?

?r
· ?r + 2 ?í ?r?u - ?2ë Rrr = _?r(í + ë)

?r r ?r?u r

Preuve : Il suffit d'appliquer la formule (1.5). Ì

2.1.1 Système d'EKG

Le système d'équations non linéaire couplé d'Einstein et de Klein-Gordon est définit en coordonnées locales par :

cents ·····

·····

(2.3)

0p+1

Ruí - 12guíR = 8ðTuí

u

Tuí=0u0í-12guígáâ0á0â-pg + ^í 1

?0

où p E [j, +8[, j = 3 ou 4, 0 : IR₊ × 1[$₊ --? 1[$ et 0_á := où á E {u, r, è, ö}, _Ruí est le

?á

tenseur de Ricci qui permet de retrouver l'accélération à partir de l'état de repos d'une sphère de particules entourant une masse ponctuelle, _guí le tenseur métrique, _Tuí le tenseur énergie-impulsion dont l'expression dépend du choix de la matière et R = g^áâR_áâ la courbure riemannienne scalaire.