Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

Définition 2.1.3 : (Tenseur d'Einstein)

Le tenseur Suí = Ruí - 12guíR est appelé tenseur d'Einstein dénommé en l'honneur à Albert Einstein en géométrie différentielle. Il est utilisé pour exprimer la courbure d'une variété pseudo-riemannienne. En relativité générale, il permet de décrire comment le champ gravitationnel est affecté par la présence de la matière.

Lemme 2.3 : Ruí peut s'écrire

Ruí = 8ð0u0í + 8ð guí p + 1

0p+1

Mémoire de MASTER

22

2.1. Espace-temps à symétrie sphérique

Preuve : La relation (2.3) donne par contraction :

gáâ(Ráâ -1

₂gáâR) = 87rg^áâT_áâ = 87rT

où T = g^áâT_áâ et puisque g^áâR_áâ = R et g^áâg_áâ = 4, on aura :

4

R - ₂R = 87rT

c'est-à-dire R = -87rT. Or

T = g^áâT_áâ = g^áâ(Ö_áÖâ - 1 ₂gáâg^uíÖuÖí - gáâ

p + 1Öp+1)

= g^áâÖ_áÖâ - 4 ₂g^áâÖáÖâ - gáâgáâ

p + 1 Öp+1

_Öp+1

= 4

g^áâÖ_áÖâ -p + 1

Mais toujours de la relation (2.3), on a aussi

1

Ruí = ₂guíR + 87rT_uí

1

= ₂g_uí(-87rT) + 87rT_uí

= -47rguíT + 87rTuí 4 = -47rguí(-g^áâÖáÖâ - p + 1

Ö^p+1) + 87rTuí

167r

= 47rguíg^áâÖáÖâ + p + ₁guíÖ^p+1 + 87rT_uí

= 47rguíg^áâÖáÖâ + ^16ð g_uvÖ^p+1 + 87r(Ö Ö_í - 1 guvg^áâÖáÖâ - guí Öp+1)

p + 1 2 p+ 1

_Öp+1

87rg_uí

= 87rÖ_uÖ_í +

p + 1

d'où le résultat. Ì

Proposition 2.1.1 : Pour l'équation (2.3), le tenseur énergie-impulsion est à divergence nulle c'est-à-dire :

?_uTu^í = 0

Cela traduit qu'un objet suivant une géodésique conserve son énergie.

L'équation de la conservation d'énergie ?_uTu^í = 0 doit souvent être complétée par d'autres équations vérifiées par les quantités physiques apparaissant dans T.

Mémoire de MASTER

23

2.1. Espace-temps à symétrie sphérique

Preuve : En effet, en appliquant à l'équation (2.3) la dérivée covariante, on obtient : ?_u(Ru^í - ₂gu^íR) = 8ð?_uTu^í

1

Or de (1.6) on a ?_ãSãu = 0 avec S^áâ = R^áâ - ¹₂g^áâR, on déduit donc que

?_íTu^í = 0 Ì

Proposition 2.1.2 : Ö est solution de l'équation dite de Klein-Gordon :

jÖ = Öp

où jÖ = ?ça_çÖ si et seulement si il y a conservation d'énergie.

Preuve : En effet :

T uí = guçg^íñT_çñ

1_a g~1P

= 9uçgíñ r Ö_P -- 2g~lPgáâÖ~Q + 1 OP+1l

LL p JJ

1l

= guçgíñ [?_çÖ?_ñÖ - ₂gçñg^áâ?áÖ?âÖ - +^ñ₁Ö^p+1] (car ?_çÖ = Ö_ç)

^p

donc,

?_uTu^í = guçg^íñ?_u(?_çÖ?_ñÖ) - ₂guçg^íñg_çñg^áâ?_u(?_áÖ?âÖ) - _guç_gíñ gçñ

1 p + ₁(p + 1)ÖpÖ_u
= guçg^íñ?_u?_çÖ?_ñÖ + guçg^íñ?_çÖ?_u?_ñÖ - ₂g^áâg^íñSu

1 ñ (?u?áÖ?âÖ + ?áÖ?u?âÖ) - S^í_çguçÖ^pÖ_u
= g^íñ(guç?_u?_ç)Ö?_ñÖ + guçg^íñ?_çÖ?_u?_ñÖ - ₂g^áâgu^í(?_u?_áÖ?âÖ + ?áÖ?u?âÖ) - gu^íÖpÖ_u 1

= g^íñ?ç?_çÖ?_ñÖ + guçg^íñ?_çÖ?_u?_ñÖ - gu^âg^áí?_u?_áÖ?âÖ - gu^íÖ^pÖ_u

= g^íu j Ö?_uÖ - gu^íÖp?_uÖ

= gu^íÖ_u(jÖ - Ö^p)

Ainsi, ?_uTu^í = 0 ? jÖ - Öp = 0 car gu^íÖ_u = g^uuÖ_u + g^urÖ_u + g^ruÖ_r + g^rrÖ_r ? 0 . Ì
Définition 2.1.4 : (d'Alembertien associé à une métrique)

L'opérateur j de la proposition 2.1.2 s'appelle le d'Alembertien et est souvent noté j_ã lorsqu'il est associé une métrique ly et est défini par

j_ãÖ = H-2 1 a_á( SãS¹² ryu^í 0_íÖ)

où 1'y1 est la valeur absolue du déterminant de la matrice représentée par ly pour la métrique (2.2) dans la base (du, dr, de, dç) et les ryu^í, u , v E {u, r, e, 0} les composantes de la matrice inverse de ly dans cette même base.

2.1. Espace-temps à symétrie sphérique

Proposition 2.1.3 : Le d'Alembertien j_ã associé à la métrique ã définit par (2.2) peut s'écrire

í ?²O 1 ?O 2~ ?²O2 ?í ?ë ?O

jO = -2e- - + + e + + -

¹

ã

?u?r r ?u ?r² r ?r ?r ?r

Preuve : En utilisant la matrice ã et la matrice inverse ã-¹ de la métrique (2.2) définies

en on a :

j_ãO = SãS- ² ?ë(SãS¹² ãu^í?_íÖ )

= r^-2 sin-1 ^èe-í-ë [(r² sin èe^í+ë × -e^-í-ëO_u)_r + (r² sin èe^í+ë × -e^-í-ëO_r)_u + (r² sin èe^í+ë × e^-2ëO_r)_rl

= r^-2 sin^-1 èe^-í-ë(-2r sin èO_u - r² sin èOur - r² sin _èOru + 2r sin èe^í-ëO_r + r² sin è ? (í - ë)e^í-ëO_r

?r

+ r² sin èe^í-ëO_rr)

= -2r^-1e^-í-ëO_u - e^-í-ëO_ur - e^-í-ëO_ru + 2r^-1e^-2ëO_r + ??r(í - ë)O_re^-2ë

+ O_rre^-2ë

[Örr

?í - ^?ë
·¹_ -2e^-í-ë _%oOur + _r-1 e-2ë + ~_r + 2r^-1O_rJ

?r ?r

?²O1 ?O r Ou
· _L f ?²O 2 ?í ?ë?O l

= -2e^-í-ë ?u?r + + e-2ë ?r² r + + ?r ?r
· ?r

Propriété 2.1.1 : La composante {rr} de (2.3) est

?í + ?r

?ë ?r

= 4ðr

(^?O1^2 ?Or) (2.4)

Preuve : Des Lemme 2.2 et Lemme 2.3, nous avons :

2 ?í₊ ?ë
· = Rrr = 8ðO_rO_r + 8ðgrrOp+1

r ?r ?r p + 1

et comme grr = 0, on a	?í + ?r	?ë	= 4ðr	2 ?~ ·
		?r			Ì

Mémoire de MASTER

24

Proposition 2.1.4 : De (2.4), on a :

8 2

í + ë = -4ð _f s0
· ds (2.5)

r

Preuve : En effet puisque í et ë tendent vers 0 lorsque r tend vers l'infini, en intégrant (2.4) sur l'intervalle [r, +8[, on a :

+8 2

-(í + ë) = 4ð s^?O
· ds

Jrr ?s Ì

Mémoire de MASTER

25

2.2. Réduction du système d'EKG en une équation intégro-différentielle du premier ordre

C'est-à-dire

+8 2

í + ë = -4ð _f s^4: ds (2.6)

r ?s

Propriété 2.1.2 : La composante {èè} ou {??} de (2.3) est donnée par

?í ?ë

?r ?r

1 (e^2ë - 1) = -8ðre2ë

p + 1 (Ö)^p+1 (2.7)

r

Preuve : Des Lemme 2.2 et Lemme 2.3, on a :

e-2ë r ?ë

?r - ?í

?r
· - 1 + 1 = Rèè = 8ðÖèÖè + 8ðgèè

p + 1 (Ö)p+1

et puisque Ö := Ö(u, r) et gèè = r², on déduit que

e-2ë r ?ë

?r - ?í

?r
· - 1 + 1 = 8ðr2

p + 1 (Ö)p+1

donc

?í ?ë ¹(e^2ë - 1) = -8ðre2ë

- - (Ö)^p+1

?r ?r r p + 1 Ì