Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

2.2 Réduction du système d'EKG en une équation intégro-différentielle du premier ordre

Comme dans [2], nous désignons par h la fonction

?

h := _?r(rÖ).

Alors en utilisant

1 r

f(u, r) := r f f(u, s)ds, (2.8)

nous avons facilement

? h, _?rÖ = ^h_r^h. (2.9)

Posons

g = e^í+ë, (2.10)

et

g = e^í-ë. (2.11)

2.2. Réduction du système d'EKG en une équation intégro-différentielle du premier ordre

Proposition 2.2.1 : En combinant (2.6) et (2.10), on obtient

g = exp [-4ð _J (h - h)2 ^ds ] (2.12)

r

Preuve : (immédiate) Ì

Proposition 2.2.2 : En combinant (2.7) et (2.11), on obtient

g = g (p ⁸ 1)r Jo r s2 %ohé^p+1 gds (2.13)

Preuve :

_?r[r(g - g)] = g - g + r?g- ?g
·

?r ?r

r Jo

En injectant (2.7) dans cette égalité et en utilisant (2.9) on obtient :

?

[r(g g)] = eí-ë 1 rr gds + r 1 e2ë - 1 8ðre2ë (h)p+1 e^í-ë + 1 ^r gds - 1 eí+ë

?r r o r r p + 1 r² o r

eí-ë - 1

r

gds+r

~

[?r^í ?r
· e r v-a + r2 Jo gds - _re

í+ë 1

1

2 jãh = - rg	?h + ?u	g ?h g - rg ?r g	h - h r2 +	h - h	(h - h) ^8ð %ohép+1 p + 1
				r2

r

8ðr2 í+~ r

r Jo gds + e^í+ë - eí-ë

= e^í-ë - 1

p+ 1 (hé^p+1 + r Jo gds - eí+ë

p + 1 %ohép+1 eí+ë

8ðr²

p + 1 %ohé^p+1 g

8ðr²

En intégrant cette dernière égalité, sur [0, r[, on obtient :

8ðr 2 p+1

r(§-

g) = - p + 1 _Jo s %ohé gds

Soit

g= g

8ð

(p +

Ì

1)r Jo s2 %ohé^p+1 gds

r

Lemme 2.4 : Le d'Alembertien j_ã défini à la proposition 2.1.3 peut encore s'écrire :

Mémoire de MASTER

26

2.2. Réduction du système d'EKG en une équation intégro-différentielle du premier ordre

Preuve : En utilisant les relations (2.9), (2.10) , (2.11) et (2.7) on a :

j_ãÖ = -2e^-í-ë ?2Ö

?u?r + 1 ?Ö ?u
· + e-2ë ~?2Ö

?r2 + 2 r + ?í

?r - ?ë ?r
· ?Ö ?r ~

r

= -2e-í-ë ?u ? ?Ö ?r + 1 r Ö
· + e-2ë ? ?r ^?Ö ?r
· + 2 r + ?í

?r - ?ë ?r
· ?Ö ?r

= -2e-í-ë ? OEh-h1h`+e-2ë?

h ` + e-2+ 2 ?í - ?ë
· h - h

?u r r ?r r r ?r ?r r

-2ë

2_e-í-ë

= -

r

?h + e

?u

OE-h - h + 1 ?h - 1 ?h` + e-2ë 2 - 1 + 1 e2ë - 8ðre2ë _%ohép+1 h - h

r²r?r r?r r r r p + 1 r

-2ë ~-h - h

r2 + h - h

r2 e2ë - (h - h)8ðe2ë

p + 1 %ohép+1

?h

+

r ?u

2_e-í-ë

=

_e-2ë

r ?r

?h + e

?h +

rg ?u

?h g

-

?r g

h - h

r2 +

(h - h) ^8ð %ohép+1 p + 1

g rg

h - h

_r2

2

= -

Mémoire de MASTER

27

d'où le résultat. Ì

Définition 2.2.1 : (Opérateur différentiel)

Dans le reste du travail, nous introduisons l'opérateur différentiel D qui est un opérateur différentiel le long des rayons lumineux entrants défini par :

g

2

?

?r

?

D = ?u

Théorème 2.2.1 : L'équation de Klein-Gordon obtenue à la proposition 2.1.2 peut s'écrire comme une équation intégro-différentielle non linéaire du premier ordre en h

Dh = (h - h) [g-g

2r - 4ðrg

p + 1 %ohé^p+1~ - 1 ₂rg %ohé^p (2.14)

Preuve : De la proposition 2.1.2, on a :

j_ãh = %ohé^p

mais grâce au Lemme 2.4, on a :

%ohé^p = jãh =

2 ?h g ?h gh - h h - h 8ðp+1 rg?u^+rg?r g r2 + r2 - (h - h)p + 1 %ohé

rg ?h

2 ?u - g ?h

?r
· + h - h

r2 1- g_g
·-(h-h) 8ð

p + 1 %ohép+1

2

2 1

= - Dh + _r2g (h - h)(g - g) - (h - h) p+^8ð 1 %ohép+1
rg

ainsi,

2 Dh = 1 (h - h)(g - g) - (h - h) ^8ð %ohé^p+1 - %ohé^p

rg r²g p + 1

et donc

Dh = 1 (h - h)(g - g) - (h - h) p + 1 4ðrg %ohé^p+1 - 1 2rg %ohé^p 2rÌ

* *

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