Chapitre Trois
Mémoire de MASTER
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Université de Yaoundé 1
THÉORÈME D'EXISTENCE ET
D'UNICITÉ POUR L'ÉQUATION
INTEGRO-DIFFÉRENTIELLE
NON LINÉAIRE DU PREMIER
ORDRE
Le but de ce chapitre est de démontrer que
l'équation intégro-différentielle
(2.14) avec pour condition initiale
h(0, r) = h0(r) possède une
unique solution dans C1([0,
+8[×[0, +8[). Pour cela, nous
procéderons par la méthode du point fixe de Banach.
3.1 Cardre fonctionnel
Comme dans les travaux de Dongho Chae
[2], nous définissons les espaces:
Définition 3.1.1 : Soit j E
{3, 4}. Désignons par X l'espace des
fonctions défini par
X = {h(.,.) E
C1([0, +8[×[0,
+8[) : YhYX < 8}
où
|
YhYX = sup
u=0
|
sup r=0
(1 + r +
u)j-1Sh(u, r)S + (1 +
r + u)j V?h
ôr (u, r)V
|
Définition 3.1.2 : Soit l'espace des fonctions X0
défini par:
X0 = {h(.) E
C1([0, +8[) : YhYX0
< 8}
3.2. Théorème d'existence et
d'unicité (théorème principal)
où
YhYX0 = sup
r=0 (1 +
r)j-1Sh(r)S + (1 +
r)j V?h ?r (r)V
et Yh0YX0 = d.
Définition 3.1.3 : Soit l'espace Y contenant X
défini par :
Y = {h(.,.) E
C([0,+8[x[0,+8[) : YhYY < 8}
où
|
YhYY = sup
u=0
|
sup TM(1 + r +
u)j-1Sh(u,r)Sú
r=0
|
Proposition 3.1.1 : Y est un espace
métrique complet pour la distance induite par la norme
Y.YY .
Preuve : En effet, considérons
C1(1[8+x1[8+) comme l'espace des fonctions
f : 1[8+x1[8+ 1[8
bornées et admettant des dérivées partielles
bornées. Ainsi en munissant C1(1[8+ x
1[8+) de la norme
V ? ?xf(x,y)V+ sup
V ?yf(x, y)V
0=x,y<oo
YfY = sup Sf(x,y)S +
sup
0=x,y<oo 0=x,y<oo
Mémoire de MASTER
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il est un espace de Banach. Soit
(hn)n une suite de points de Y
qui converge vers h dans Y , alors
hn est C1,
hn0(r) = hn(0,
r) et YhnYY < +8 donc h est aussi
C1, h0(r) = lim
hn0(r) = lim hn(0,
r) = h(0,r) et il existe N E N tel que bn
= N, Yhn - hYY = 1
c'est-à-dire YhYY =
1+YhnYY < +8 donc h E Y
. Ainsi Y est un fermé du Banach
(C1(1[8+x1[8+),Y.Y) et donc
un espace métrique complet pour la distance d définit
par d(f, g) = Yf -gYY bf, g
E Y
| 
