Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

Définition 1.3.15 : (Champ de vecteurs)

Un champ de vecteurs sur M est une application

X : M Ð? TM

x z? X(x) = X_x E T_xM

telle que H X = idM (H étant la projection canonique).Un champ de vecteurs est dit différentiable si l'application qui le définit est C⁸.On note par X(M) l'ensemble des champs de vecteurs différentiables définis sur M.

Mémoire de MASTER

8

1.3. Quelques notions de géométrie différentielle

Théorème 1.3.1 : Un champ de vecteurs différentiable X est une dérivation sur C^°°(M) ce qui revient à dire que les deux propriétés suivantes sont vérifiées :

i-) Va, b E R, Vg, h E C^°°(M), X(ag + bh) = aX(g) + bX(h)

ii-) Vg,h E C^°°(M), X(hg) = hX(g) + gX(h)

Preuve : Voir [7] Ì

Définition 1.3.16 : (Produit de deux champs de vecteurs)

Soient X et Y deux champs de vecteurs. Le produit de X par Y est donné par:

XY (g) = X(Y (g)), Vg E C^°°(M)

.

Proposition 1.3.1 : le produit de deux champs de vecteurs n'est pas une dérivation. Preuve : Soient X et Y deux champs de vecteurs. On a pour tout h,g E C^°°(M), on a :

XY (gh) = X(Y (gh)) = X(gY h + hYg)

= gX(Y h) + Y hX(g) + hX(Yg) + Y gX(h) = gXY (h) + hXY (g) + Y hX(g) + Y gX(h)

Mais,

g(XY )h + h(XY )g = gX(Y h) + hX(Yg)

.Il vient que, XY (gh) ? g(XY )h + h(XY )g.
·

Définition 1.3.17 : (Crochet de Lie) Soit M une variété différentiable.

On appelle crochet de Lie de deux champs de vecteurs X et Y ,le champs de vecteurs noté [.,.] et défini par:

[.,.] :X(M) x X(M) ? X(M) (X,Y ) '-? [X,Y ] = XY - Y X

Remarque 1.3.1 : L'opérateur crochet définit une dérivation sur C^°°(M). En coordonnées locales, on a :

n n

[X,Y ] = Q Q (Xj?jY i - Y ^j?jXⁱ)` ?i

i=1j=1

a

axi

où ?i =

Mémoire de MASTER

9

1.3. Quelques notions de géométrie différentielle

Définition 1.3.18 : (Dérivée de Lie)

La dérivée de Lie d'un champ de vecteurs X par rapport à un autre champ de vecteurs Y est le champ de vecteurs LX(Y ) défini par : LX(Y ) = [X, Y ]

Définition 1.3.19 : (Applications n-linéaires)

Soient n E N^*, E1, E_n et F des K-espaces vectoriels, K = R ou C.Une application

f : E1 x x E_n -* F est dite n-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses

n facteurs.

Lorsque F = K, on dit que f est une forme linéaire sur E1 x x E_n

Remarque 1.3.2 : Lorsque E1 = E2 = ....E_n = E et F = K, on dit f est une forme n-linéaire sur E

Définition 1.3.20 : (Tenseur élémentaire)

Soient E et F deux K-espaces vectoriels(K = R ou C), x E E et y E F.On appelle tenseur élémentaire, l'application :

x ® y :E^* x F^* -* K

(á,i) 1---* á(x).i(y)

où "." désigne le produit scalaire et E*, F^* désignant respectivement les duals algébriques

de E et F.