Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

Définition 1.3.8 : (Structure différentiable)

Une structure différentiable de dimension n sur E est une classe d'équivalence d'atlas de dimension n de E.

La relation d'équivalence R ici étant : pour deux atlas A et B, ARB si et seulement si toutes les cartes de A et B sont deux à deux compatibles.

En pratique, on définit une structure différentiable en donnant un atlas représentant la classe.

Définition 1.3.9 : (Variété topologique, sous-variété)

Une variété topologique de dimension n(n E N^*) est un espace topologique séparé dont chaque point possède un voisinage ouvert homéomorphe à Rⁿ.

Un sous-ensemble M de Rⁿ est appelé sous-variété de Rⁿ de dimension in (in < n) de classe C^k si ?x E M, il existe un ouvert U de Rⁿ contenant x et çb : U -? çb(U) ? Rⁿ de classe C^k tels que çb(U n M) = çb(U) n R^m.

Définition 1.3.10 : (Variété différentielle)

Une variété différentielle de classe C^k et de dimension n est un espace topologique séparé muni d'un atlas maximal (au sens de l'inclusion) de classe C^k et dans lequel toutes les cartes sont de dimension n.

Définition 1.3.11 : (Courbe différentielle en un point)

Soit M une variété différentiable et I une partie non vide de R contenant 0, x un point de M. Une courbe différentielle de M en x est une application différentielle

c : I -? M

t--?c(t)

telle que c(0) = x. F = c(I) c M est appelé arc paramétré de M et le couple (I, c) est une paramétrisation de la courbe F.

Mémoire de MASTER

7

1.3. Quelques notions de géométrie différentielle

Définition 1.3.12 : (Courbes tangentes en un point)

Deux courbes c1 et c2 passant par x sont dites tangentes si pour toute carte locale (U, ö) d'une variété différentielle M, on a :

cents ····

····

c1(0) = c2(0) = x dt(ö c1)(0) = d

d dt(ö c2)(0)

.

Par la suite, on définit la relation R sur l'ensemble des arcs paramétrés de M par _c1Rc2 si et seulement si les courbes c1 et c2 sont tangentes.

R ainsi définie est une relation d'équivalence et une classe d'équivalence suivant la relation R est définie par :

c_x : C⁸(M) Ð? R

d

g z? [c]_x(g) = _dtg(x)

Définition 1.3.13 : (Vecteur tangent- Espace tangent)

Soit M une variété différentielle et x E M. Un vecteur tangent à M en x est une classe d'équivalence pour la relation R définie ci-dessus.

L'espace tangent à M en x est l'ensemble des vecteurs tangents à M en x.C'est un espace vectoriel de même dimension que M et est noté T_xM.

Soit M une variété différentielle de dimension n Définition 1.3.14 : (Fibré tangent)

TM = U x?M

({x} x TxM) est une variété différentielle de dimension deux fois la dimen-

sion de M et est appelé fibré tangent à M.