1.3 Quelques notions de géométrie
différentielle
Définition 1.3.1 : (Espace topologique)
Soit E un ensemble non vide, O une famille de parties de E
vérifiant:
(i) 0,E E O
(ii) VA,B E O, A n B
E O
(iii) V(Oi)i?I C
O, Ui?IOi E
O
Le couple (E, O) est appelé espace topologique et
O est ensemble des ouverts de E.
Définition 1.3.2 : (Espace topologique
séparé)
Un espace topologique (E, O) est dit
séparé(au sens de Hausdorff) si Vx, y E
E tels que x ~ y, il existe U
E O contenant x et V E O
contenant y avec U n V = 0
Mémoire de MASTER
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1.3. Quelques notions de géométrie
différentielle
Dans la suite, lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté,
nous noterons tout simplement E pour désigner un espace topologique.
Définition 1.3.3 : (Espace séparable)
E est dite à base dénombrable d'ouverts s'il
possède un sous ensemble dénombrable dense dans E
Exemple 1.3 : Pour l'espace topologique
Rn, on a Qn comme partie
dénombrable dense.
Définition 1.3.4 : (Application de classe
C°°)
Soit n E N, Sl un ouvert non vide de
Rn. Soient x = (x1, ....,
xn) E Rn et á =
(á1, , án) E
Nn un multi-indice.
Soit f : Sl --p C une application. On dit que f est
de classe Ck, k E N si Vá E
Nn tel que
lál = k, Dáf existe et est
continue avec lál = á1 + á2 + +
án et Dá =
?xá1
1 ?xá2
2 ...?xán
n .
f est de classe C°° si elle est de
classe Ck Vk E N.
?lál
Définition 1.3.5 : (Carte locale)
Soit E un espace topologique.On appelle carte locale de
dimension n sur E la donnée d'un couple (U,ö) tel que :
i-) U est un ouvert de E.
ii-) ö est un homéomorphisme de U vers ö(U)
g Rn.
L'ouvert U est le domaine de la carte et pour p E U,
ö(p) = (x1(p), , xn(p)) E
Rn. Les
xi(p) ,i = 1, 2, ...., n sont
appelés coordonnées locales du point p.
Définition 1.3.6 : (Cartes compatibles)
Deux cartes (U, ö) et (V,ø) sur E sont dites
Ck -compatibles si U n V = 0 ou lorsque
l'application ø ö-1 : ö(U n
V ) -* ø(U n V ) est un Ck-
difféomorphisme.
Définition 1.3.7 : (Atlas)
Un atlas de dimension n (n E
N*) sur E de classe Ck (k E N) est
un ensemble A = {(Uá,
öá)á?Ë} de
cartes de dimension n tel que :
- Les ouverts Uá recouvrent E ;
- Toutes les cartes de A sont Ck-
compatibles deux à deux.
Mémoire de MASTER
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1.3. Quelques notions de géométrie
différentielle
Un atlas permet donc de définir des
coordonnées locales partout sur E. On dit que deux atlas sont
équivalents si leur union est encore un atlas c'est-à-dire que A
= {(Uá,
á)á?A}
et B = {(Vâ,
öâ)â?A}
sont équivalents si toutes les cartes
(Uá, á) et (Vâ, çbâ)
sont compatibles deux à deux.
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