1.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz
Définition 1.2.1 : (Application lipschitzienne)
Soient M et N deux espaces métriques et f une
application de M dans N. Soit k un réel strictement positif. Alors f est
k-lipschitzienne si
d(f(x), f(y)) <_ kd(x,y), b x, y E
M
k est appelé constante de Lipschitz de f.
Mémoire de MASTER
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1.3. Quelques notions de géométrie
différentielle
Définition 1.2.2 : (Application globalement
lipschitzienne)
Soit E un espace de Banach, U un ouvert de R x E.
Une application f définie de U dans E est dite globalement
lipschitzienne par rapport à x E E s'il existe
k > 0 telle que
Yf(t,x) - f(t,y) ~ kYx
- yY, V(t,x), (t,y) E U
Définition 1.2.3 : (Application localement
lipschitzienne)
Soit E un espace de Banach, U un ouvert de R x E.
Une application f définie de U dans E est dite localement lipschitzienne
par rapport à x E E si pour tout (t0, x0)
E U, il existe V E v(t0,
x0) dans U et une constante strictement positive k tels que f/V soit
k-lipschitzienne par rapport à la variable x.
Théorème 1.2.1 :
(Cauchy-Lipschitz)
Soient E un espace de Banach et f une application continue
d'un ouvert I xU de RxE dans E. On suppose que pour t
fixé, l'application x z? f(t, x) est localement lipschitzienne.
Alors pour tout point (s0, y0) E I xU, il
existe I0 xU0 voisinage de (s0, y0) dans I xU tel que pour
tout (t0, x0) E I0 xU0, il existe une unique
solution x(t) de l'équation x'(t) =
f(t, x(t)) définie sur I0 avec la condition initiale (t0,
x0).
Preuve : Voir [5] Ì
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