Exemple 1.2 : D'espace de Banach
L'espace des fonctions f :
R2+ ? R bornées
admettant des dérivées partielles bornées muni de la
norme
I??x,
f(xy)I+ sup I n f(x, y)I
0=x,y<oo y
11f1 1= sup If(x, y)1 + sup
0=x,y<oo
0=x,y<oo
Mémoire de MASTER
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est un espace de Banach.
Théorème 1.1.1 : (Théorème du
point fixe de Banach)
Soit (E, d) un espace métrique complet, f une
application strictement contractante de (E, d) vers (E, d) i.e : 3k
E]0,1[ tel que bx, y E E, d(f(x), f(y)
<_ kd(x, y). Alors f admet un unique point fixe dans E
c'est-à dire qu'il existe un unique point x E E tel que f(x)
= x.
Preuve : Voir [5]
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