Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

3.3 Preuve du théorème d'existence et d'unicité

Pour ä = L(x), nous déduisons du théorème 1.1.1 et de la relation (3.96) que l'équation (2.14) possède une unique solution h dans Y . Et comme cette solution vérifie la relation (3.1), nous déduisons l'unicité de solution dans X. Mais cette unique solution h vérifie 11h11X < x2 donc pour tout u = 0, r = 0, ,

(1 + r + u)^j-11h(u,r)1+ (1 + r + u)^jl^?h(u,r)1 < x2

?r

ce qui implique

{ (1 + r + u)j-^11h(u, r)1 < x22 (1 + r + u)jS^?h ?r (u,r)S < x22

?

cents ···· ····

Ih(u,r)1 < x2 2 (1 + r + u)-(j-1) S?h ?r (u,r)S < x22 (1 + r + u)-j

On a

Mémoire de MASTER

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x2

donc la relation (3.1) en prenant C = 2 .

Montrons à présent que pour tout r = 0, e^ë , e^í tendent vers 1 lorsque u ? +8 Nous avons de la relation (3.11)

8 0 < 4ð fSh-hl^2ð2x2

d^ss(1 + u)⁴

donc

lim

u?+8

4ð _f 1h - hl^2ds 8

_s= 0

pour tout r > 0 fixé et avec la relation (2.12), nous avons

lim g = 1

u?+8

Mémoire de MASTER

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3.3. Preuve du théorème d'existence et d'unicité

.

D'autre part de la relation (3.16), on a : lim u-++00		Sg - gS = 0
d'où	lim u-++00		g= 1

. Finalement des relations (2.10) et (2.11) nous avons

lim eí+ë = 1 et lim eí-ë = 1

u-++00 u-++00

on conclut que e^í et e^ë tendent vers 1 lorsque u ? +8 ce qui termine la preuve du théorème

3.2.1.

Mémoire de MASTER

53

Université de Yaoundé 1