Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

D.7-1

47r

= (.7-1 - h1) [g1 2rg1 - +g1 (h1)^p+1] - ¹₂rg1 (h1)^p

p

et d'autre part

D.7-2 = (.7^-2 - h2) g2 - g2

2r - 4ðrg2

p + 1 (h2)^p+1]- _12rg2 (h2)^p

puis on déduit de ces deux relations

DÈ = D(.7-1 - .7-2) = (.7-1 - h1) [g1 -g1 4ðrg1 (h )p+1] ¹ _(h )p

p

-

2r + 1 1

₂rg1 1

Mémoire de MASTER

44

- (.7^-2 - h2) [^g2-_2r^g2 - 4ðrg2

p + 1 (h2)^p+1] + _12rg2 (h2)^p

3.2. Théorème d'existence et d'unicité (théorème principal)

. Ainsi,

1 1

DÈ = _2r(g1 -g2)h2 + _2r(g1 -g1)(È - h1 - h2)

1 4ðrg1

+ 2r(g1 - g2 - g1 + g2)(F2 - h2) - p + 1 (h1)p⁺¹(È - h1 + h2) 4ðrp+1

+ p + 1 [g2 %oh2é - g1 %oh1é^p+1]+^r₂(g2 - g1)h1

- ₂(h1^p - h2^p)

= ~ 1 2r(g1-g1)- 4ðrg1

p + 1 (h1)p+1~(È-h1+h2)+ 1 2r( g1- g2)h2+ 1 _2r(g1-g2- g1+ g2)(F2-h2)

4ðr p₎
+ p + 1 g2 %oh2é^p+1 - g1 %oh1é^p+1~ + r ₂(g2 - g1)h1 p - r ₂(h1^p - h2

Posons

y = Yh1 - h2YY

Comme précédemment, grâce au Théorème 1.2.1, nous allons utiliser la caractéristique Xl := Xl(u, r) définie par

dr = - du

gl(Xl(u, r), u); r(0) = r0

Mémoire de MASTER

45

où l = 1, 2. Ainsi, nous pouvons représenter È comme

È(u1,r1) = J exp [_2r(g1 -g1) - +~1 (h1)^p+1] du^'[ø]_X1 du

o p xl

1 1 1

, où ø est après réarrangement des termes

ø _=2r(g1-g2)h2 + _2r [g1 -g1 - (g2 -g2)]F2 - 2r [g1 -g1 - (g2 -g2)]h2

- (h1- h2) g1 - 2r g1 - 4ðrg1

p + 1 (h1)^p+1~ + p ^4ðr + 1 g2 %oh2é^p+1 - g1 %oh1é^p+1~ + r p₎

₂(g2 - g1)h1 p - r 2(h1 p - h2

. Or

1 1

SøS = _2rSg1 -g2SSh2S + _2rSg1 -g1 - (g2 -g2)SSF2S 1

2r V + Sh1 - h2SS^4ðrg1

+ 2rSg1 - g1 - (g2 - g2)SSh2S + Sh1 - h2SVg1 - g1 p + 1 SSh1Sp+1

4ðr

p_S

+ p + 1 Ug2 %oh2é^p+1 - g1 %oh1é^p+1U + r ₂Sg2 - g1SSh1^pS + r ₂Sh1^p - h2

:= D1 + D2 + ... + D8. (3.67)

3.2. Théorème d'existence et d'unicité (théorème principal)

Nous allons à présent chercher une majoration des termes D1 , D2 , ... , D8. Pour cela, nous remarquons que :

1 r

Sh1 - h2S < f

Sh1 - h2Sds

r

1 r Jo^r (1 + s + u)2S(h1 - h2)(u,s)Sds

<

1 r

sup 0=u,s<°°

{(1 + s + u)^2S(h1 - h2)(u, s)S} f r o (1 + ^ds^s+ u)^2

Mémoire de MASTER

46

1 r ds

= Yh1 - h2YY r J^ro (1 + s + u)²

y

(3.68)

(1 + u)(1 + r + u)

et

Sh1 - h2 - (h1 - h2)S < Sh1 - h2S + Sh1 - h2S

< y + y

(1 + r + u)² (1 + u)(1 + r + u)

2y

(3.69)

(1 + u)(1 + r + u)

En utilisant (3.10) et (3.68), nous déduisons que

TSh1 - h1S² - Sh2 - h2S²T < S(h1 - h2) - (h1 - h2)S(h1 - h1 + h2 - h2)S

< (1 + u)(1 + r + u) 2(1 + r + u)²(1 + u) + 2(1 + r + u)²(1 + u)

2y xr xr ]
2xyr

(3.70)

(1 + u)²(1 + r + u)³

Comme

-4ð S r (h1 - h1)^2ds

°° _s< 0

, nous avons

Sg1 - g2S = Vexp[-4ð f ^°°(h1 - h1)^2ds]- exp[-4ð _f ^°°(h2 - h2)²d^s_JV < 4ð f °° s S_h1- h1S² - Sh2 - h2S² ds

< ^8ð(1 + u)²(1 + s + u)3 ds

r°° xy

r

4ðyx (3.71)

< (1 + u)²(1 + r + u)²

Mais, nous pouvons noter

1

h^p₁ - h^p₂ = p(h1 - h2) _f (th1 + (1 - t)h2)^p-1dt (3.72)

0

3.2. Théorème d'existence et d'unicité (théorème principal)

et

Sh^p₁ - h^p₂S < pSh1 - h2S(Sh1S + Sh2S)^p-1

yp < × (1 + u)(1 + r + u)	2p-1xp-1
	(1 + u)p-^1(1 + r + u)p-^1

yp2p-¹xp-¹

(3.73)

(1 + u)p(1 + r + u)p

donc

V^r₂(h^p1 - h^p₂)V = ^r₂Sh^p₁ - h^p₂S

r

< 2

yp2p-¹xp-¹

(1+u)p(1+r+u)p ryp2p-²xp-¹

(1+u)p(1+r+u)p

ryp2p-²xp-¹ <(3.74)

(1 + u)p(1 + r + u)p-¹

D'autre part, nous avons

1 r 4ðxy rr ds

Sg₁ - g₂S < r fSg1 - g2Sds r(1 + u)² Jo (1 + s + u)²

4ðxy <(3.75)

(1 + u)³(1 + r + u)

et de la relation (3.8) puis du fait que g1 < 1, g2 < 1, on a

p+¹)USg2h2^p+1 - g1h1^p+1S = U(g2 - g1)h2^p+1 + g1(h2^p+1 - h1

p+1_S

+ Sh2 p+1 - h1

< 2Sh2S^p+1

< (1 + u)p⁺¹(1 + r + u)p+1 + (1 + u)p⁺¹(1 + r + u)p⁺¹

2xp⁺¹ y(p + 1)2pxp

2p(p + 1)y(xp + xp⁺¹)

< (3.76)
(1 + u)p⁺¹(1 + r + u)p⁺¹

Or des relations (3.75) et (3.76), nous avons

8ð r p+1Sds

S g1 - g2S < Sg1 - g2S + (p + 1)r S 0 s²Sg2h2^p+1 - g1h1

4ðxy

< (1 + u)³(1 + r + u) +

4ðxy

< (1 + u)³(1 + r + u) +

8ð ^rr s 2p(1 + p)y(xp + xp+1) ds

(p + 1)r ^Jo (1 + u)p⁺¹(1 + s + u)p⁺¹

2p⁺³ðy(xp + xp+1) r _s2
r(1 + u)p+1 1 Jo (1 + s + u)4 ds

2p⁺³ðy(xp + xp⁺¹)r² 3(1 + u)p⁺²(1 + r + u)³

4ðxy

(1 + u)³(1 + r + u) +

4ðxy

< (1 + u)³(1 + r + u) +

2p⁺³ðy(xp + xp⁺¹) r(1 + u)p+1 1

r3 - 3r(1 + u) 3(1 + u)(1 + r + u)³

<

My(x + xp + xp⁺¹)r

Mémoire de MASTER

47

(3.77) (1 + u)³(1 + r + u)

3.2. Théorème d'existence et d'unicité (théorème principal)

De la relation (3.77) et (3.8), nous obtenons D1 = 1 g1 - g21^1h21 2r My(x + xp + xp^+1)r = (1 + u)^3(1 + r + u)		1h21 2r
My(x + xp + xp^+1) < (1 + u)^3(1 + r + u)	x
	(1 + u)(1 + r + u)

My⁽x² + xp⁺¹ + xp⁺²)

(1 + u)⁴(1 + r + u)2 .(3.78)

De (3.70), on a :

1 1g1 - g2 - (g1 - g2)1 <_r Jor ^fr

1 ?

?s(g1 - g2)1dsdr^'

4ð I^rf^r_s h1 - h11² - h2 - h21² dsdr^'

r

< 8 Jo d
7rx r r s

r(1 + u)² Jr^, (1+s +u)^3dr'

4ðrxy

(3.79)

(1 + u)³(1 + r + u)²

En utilisant les relations (3.73) et (3.79), nous avons :

1 1 8ð r 2 p+1 p+1

2r1g1 -g1 - (g2 -g2)1 < 2r1g1 - g2 - (g1 - g2)1 + r(p + 1) _Jo s Ih1 - h2 1ds

1 4ðrxy 1 2p+3ðyxpr s2

· 2r (1+u)³(1+r+u)^{2 +}2r r(p + 1)(1 + u)p+1 ^S (1 + s + u)p+1ds~ 0

2ðxy

< (1 + u)³(1 + r + u)2 +

2ðxy

< (1 + u)³(1 + r + u)2 +

1 2p+3ðyxp ,rr s2

2r r(p + 1)(1 + u)p⁺¹ Jo (1 + s + u)^4ds

1 r 2p+3ðyxpr2

2r 3(p + 1)(1 + u)p⁺²(1 + r + u)3 ~

M(x + xp)y

< (1 + u)³(1 + r + u)2 .(3.80)

Des relations (3.80) et (3.34), nous avons

1

D2

= 2r1g1 -g1 - (g2 -g2)11F21

M(x + xp)y1F21

<

(1 + u)³(1 + r + u)²

M(x + xp)y =sup {(1 + r + u)²1F2(u,r)1}

(1 + u)³(1 + r + u)⁴ 0=u,r<8

Myâ(x)

(3.81)

< 2k²(1 + u)³(1 + r + u)⁴

Mémoire de MASTER

48

Où â est définit par

â(x) = (x + x^p)(d + x³ + x^p + x^p+2)exp[M(x² + x^p+1)] (3.82)

3.2. Théorème d'existence et d'unicité (théorème principal)

Des relations (3.80) et (3.8), on obtient

1 _

D3 = 2rSg1 -g1 - (g2 -g2)SSh2S

yM(x + xP) < (1 + u)^3(1 + r + u)^2	x
	(1 + u)(1 + r + u)

yM(x² + xP+1) (3.83)

(1 + u)⁴(1 + r + u)³

De (3.16) et (3.68), nous avons

D4 = Sh1 - h2S Vg1 - g1

2r V

1 M(x² + xP⁺¹)r²

2r (1 + u)³(1 + r + u)3 ~

<

- (1 + u)(1 + r + u)

y

Mémoire de MASTER

49

M(x² + xP⁺¹)y

< (3.84)

- (1 + u)⁴(1 + r + u)³

Des relations (3.8) et (3.68),

47rrg1 P+1

D5 = Sh1 - h2 V p + 1 Vh1S

< y - (1 + u)(1 + r + u)	47rrxP^+1
	(p + 1)(1 + u)P^+1(1 + r + u)P^+1

<

47ryxP⁺¹

(p + 1)(1 + u)P⁺¹(1 + r + u)P MyxP⁺¹

<

(3.85)

(1 + u)P⁺¹(1 + r + u)³

De la relation (3.76), on a :

47rr P+1 P+1

D6 p + 1 Ug2 %oh2é - g1 %oh1é

MxP-¹y

< (1 + u)P⁺¹(1 + r + u)³

MxP-¹y <(3.86)

(1 + u)P(1 + r + u)²

De (3.71) et (3.8), on obtient r PS D7 = 2Sg2 - g1SSh1 47ryxr < X (1 + u)^2(1 + r + u)^2	xP
	(1+u)P(1+r+u)P

47ryxP⁺¹r

(1 + u)P⁺²(1 + r + u)P⁺² 47ryxP⁺¹

(1 + u)P⁺²(1 + r + u)P⁺¹ MxP⁺¹y

<

(1 + u)P⁺²(1 + r + u)⁴

(3.87)

Mémoire de MASTER

50

3.2. Théorème d'existence et d'unicité (théorème principal)

De la relation (3.77), on a :

r P P

D8 = ₂Ih1 - h2 ^P1

ryp2P-²xP-¹

= (1 + u)P(1 + r + u)P-¹

yMxP-¹ =(3.88)

(1 + u)P(1 + r + u)²

Remarque 3.2.2 : Pour le cas où j = 4, D1 , D2 , D3 , D4 , D5, D6, D7 peuvent avoir les mêmes majorations que dans le cas j = 3.

Dans le cas j = 4, nous avons

MxP-1y ( )

D8 3.89
<_ (1 + u)P(1 + r + u)³

De l'inégalité 1 + r(u) + u = ¹₂k(1 + r1 + u1) et de l'intégrale (forme générale) définie en (3.52), nous avons

S0

u1 u1

S[?]XSdu = S 0 [(D1 + D2 + ... + D8)]Xdu

C3y[â(x) + x² + xP-¹ + xP⁺¹ + xP⁺²] =(3.90)

k³(1 + r1 + u1)²

avec C3 > 0 dépendant de M.

Pour le cas j = 4, on déduit de (3.88) qu'il existe 0₃ > 0 dépendant aussi de M tel que

S0

u1 u1

S[?]XSdu = S 0 [(D1 + D2 + ... + D8)]Xdu

+ xP-¹ + xP⁺¹ + xP⁺²]

03y[â(x) + _x2 =(3.91)

k³(1 + r1 + u1)³

Comme en (3.17), on peut trouver C4 > 0 tel que

ru, 1 4

rg

Jo [2r(

1

1)

+ 1

(h1)P⁺¹] du = C4(x² + xP⁺¹) (3.92)

En combinant (3.90), (3.92) puis la définition de O, on obtient

ð

1

g

-g

-p

(1 + u1 r1)²1/3(u1, r1)1 = (1 + r1 + u1)2 ^u1 exp{f u1 [_2r(91 -91₎ - ~ð+g1 1 (h1)^P+1~ du'} _[?]X1 duW

X1

= (1 + r1 + u1)² × exp[C4(x² + x^P+1)] × C3y[â(x)k3(1 + rP+ u1)2+1 + xP⁺²]

yC3[â(x) + x² + xP-¹ + xP⁺¹ + xP+2] exp[C4(x² + x^P+1)] (3.93)

k3

3.3. Preuve du théorème d'existence et d'unicité

sup

r1=0

. On déduit de (3.93) que

11011Y = sup

u1=0

{(1 + r1 + u1)²1O(u1,r1)1}

yC3[â(x) + x² +xp-¹ + xp⁺¹ + xp⁺²]

< exp[C4(x² + x^p+1)] (3.94)

k3

Ainsi en posant

G⁽x) = C3[â(x) + x² + x3 ¹ + xp⁺¹ + xp+2] exp[C4(x² + x^p+1)], (3.95)

on obtient finalement

11011Y < G(x)y (3.96)

Or G est une fonction positive, croissante dans [0, x0[ et G(0) = 0, et il existe x2 E]0, x0] tel que G(x) < 1 pour tout x E]0, x2] ; ainsi pour 11h11X < x2 l'application h H ..7"(h) est contractante dans Y donc prendre î = G(x).