Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

? Conclusion ?

Rendu au terme de ce travail dans lequel il était question de montrer l'existence et l'unicité de solution du système non linéaire d'Einstein et de Klein-Gordon pour la métrique à symétrie sphérique, il se dégage que les équations d'Einstein se sont réduites en une équation intégro-différentielle non linéaire du premier ordre. Pour arriver à ce résultat, nous avons pris le soin de définir dans le premier chapitre des notions requises pour la meilleure compréhension du probleme. Dans le second chapitre, nous avons effectué des manipulations et des calculs qui ont conduit à l'établissement de cette équation, puis au dernier chapitre, nous avons énoncé et démontré un théorème qui conduit à l'existence globale et à l'unicité de solution pour cette équation.

Cependant, le cas d'un champ scalaire complexe n'a pas été examiné dans ce travail. D'une part, ça serait une perspective intéressante de pencher pour une étude analogue au cas réel; D'autre part, on peut considérer le cas des particules chargées et se demander si les résultats obtenus ne peuvent pas s'étendre au système d'Einstein-Klein-Gordon-Maxwell à symétrie sphérique; Et enfin, le cas p ? [0, 3[ reste à investiguer.

? Annexe ?

_Öp+1

Nous avons grâce au lemme 2.3 :

Ruu = 8ðÖ2 _u + 8ð guu p + 1

e2í = 8ðÖ^2 - 8ð p + 1

Öp+1 (3.97)

_Öp+1

Rur = 8ðÖ_uÖ_r + 8ð gur

p + 1

eí+ë = 8ðÖuÖr - 8ð p + 1

Öp+1 (3.98)

Des relations (3.98) et (3.99) nous avons :

Ruu - e^í-ëR_ur = 8ðÖ²_u - 8ðÖ_rÖ_ue^í-ë (3.99)
D'autre part du Lemme 2.2, nous avons

eí-ë + ^?ë(3.100)

(?í
?u ?u)

Ruu - e^í-ëR_ur = -

r

2

Mémoire de MASTER

54

Université de Yaoundé 1

En combinant (3.100) et (3.101), nous avons

2 _eí-ë ?í

-?u + ?ë

?u
· = 8ðÖ²_u - 8ðÖ_rÖ_ue^í-ë (3.101)

r

En utilisant les relations (2.9) et (2.11), (3.102) peut encore s'écrire

2 ?í + ?ë = 8ð ?h ?h h - h

r^g(?u ?u) ?u

?u ^g r

Remarque 3.3.1 : De la relation (3.102), nous pouvons conclure que les deux autres

équations obtenues grâce à _Ruu ^et _Rur du système d'équations d'EKG donné par la relation

?í ?ë

(2.3) aident à trouver une définition de + en fonction de Ö.

?u ?u

Mémoire de MASTER

55

Université de Yaoundé 1

? Bibliographie ?

[1] ANDREW S.GOETZ, "The Einstein-Klein-Gordon equations, wave Dark Matter, and the Tully-Fisher Relation ".Ph.D. Durke university,8jul 2015.ar Xiv : 1507.02626v1 [gr-qc].

[2] DONGHO CHAE, "Global existence of spherically symmetric solutions to the coupled Einstein and nonlinear Klein-Gordon system", 22 October 2001. Online at stacks.iop.org/CQG/18/4589.

[3] EGARD ELBAZ, Cosmologie, Ellipses (1992).

[4] FRÉDERIC PAULIN , Topologie, Analyse et calcul différentiel ,version préliminaire,cours de troisième année E.N.S (2008-2009).

[5] S. BENZONI-GAVAGE, Calcul différentiel et équations différentielles, Dunod, Paris, 2010

[6] LUC BLANCHET, introduction à la relativité générale, Institut d'Astrophysique de Paris, UMR 7095 du CNRS, Université Pierre et Marie Curie, 98bis boulevard Arago, 75014 Paris, France September 17, 2009 .

[7] Y.CHOQUET-BRUHAT, Géométrie différentielle et systèmes extérieures, Dunod, Paris, 1968.