Existence globale de solutions à symétrie sphérique du système d'Einstein-Klein-Gordon.

* Introduction *

Des observations astronomiques font état non seulement de l'existence de matières cachées mais aussi d'énergies sombres. Pour mieux les décrire, considérons un champ scalaire réel, solution de l'équation dite de Klein-Gordon; En présence du champ gravitationnel, nous avons le système d'EKG. La recherche d'une solution globale en temps d'un tel système est difficile en général; C'est la raison pour laquelle on suppose diverses symétries telles que la symétrie sphérique, la symétrie axiale, la symétrie cylindrique et bien d'autres en vue de rendre compréhensibles les preuves. On se fixe la tâche de rechercher une solution de ce système à symétrie sphérique. C'est-à-dire que l'espace-temps recherché est de la forme (R⁴,g), avec g définie par :

ds² = -e^-2"du² - 2e"^+ëdudr + r²(dè² + sin² èdö²)

Pour mener à bien cet objectif, nous transformons comme dans les travaux de Dongho Chae [2], le système d'EKG en une équation intégro-différentielle non linéaire du premier ordre, puis nous utilisons le théorème du point fixe et un contrôle de solutions du système caractéristique associé à cette équation. De ce fait, notre travail s'articule comme suit : Tout d'abord au premier chapitre, nous définissons les notions importantes pour la bonne manipulation de ce système d'équations, ensuite dans le second chapitre, nous réduisons notre système d'EKG en une équation intégro-différentielle non linéaire du premier ordre et enfin dans le troisième chapitre, nous énonçons et prouvons notre théorème principale qui conduira à l'existence globale de solution pour notre équation intégro-différentielle.

* *

* *

Chapitre Un

Mémoire de MASTER

2

Université de Yaoundé 1

PRÉLIMINAIRES

1.1 Espace de Banach

Définition 1.1.1 : (Espace vectoriel normé)

Un espace vectoriel normé est la donnée d'un espace vectoriel E sur K (K = R ou C) et d'une application Y.Y : E --* R₊ vérifiant:

· Vx E E, YxY = 0 ? x = 0

· Vx,y E E, Yx + yY = YxY + YyY

· Vx E E, VA E K, YAxY = SASYxY

On note (E, Y.Y) l'espace vectoriel normé muni de la norme Y.Y

Définition 1.1.2 : (Espace métrique) Un espace métrique est un ensemble E non vide muni d'une application d : E x E -* R₊ vérifiant pour tout triplet (x, y, z) E E³ :

a) d(x,y) = 0 ? x = y

b) d(x,y) = d(y,x)

c) d(x,z) = d(x,y) + d(y,z)

Une telle application est appelée distance sur E et le couple (E, d) est appelé espace métrique.

Exemple 1.1 : Tout espace vectoriel normé (E, Y.Y) est un espace métrique (E, d) pour la distance d(x, y) = Yx - yY.