? Résumé ?
Les équations d'Einstein décrivent en
relativité générale comment la matière et
l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Dans
ce mémoire, nous prouvons l'existence globale et l'unicité de
solutions à symétrie sphérique du système
couplé d'équations non linéaires d'Einstein et de
Klein-Gordon (EKG) pour des petites données initiales. Par un changement
de fonctions inconnues, nous transformons ce système en une
équation intégro-différentielle non linéaire du
premier ordre que nous résolvons en utilisant le théorème
du point fixe dans un espace de Banach.
Mots clés : Relativité
générale, Équations d'Einstein, Espace-temps à
symétrie sphérique, équation
intégro-differentielle.
Mémoire de MASTER
Université de Yaoundé 1
? Abstract ?
The Einstein equations describe in general relativity how
matter and energy modify the geometry of spacetime. In this dissertation, we
prove the global existence and uniqueness of spherical symmetric solutions to
the coupled Einstein and nonlinear Klein-Gordon system (EKG) for small initial
data. By a change of unknown functions, we transform this system into a
nonlinear first-order integro-differential equation that we solve by using the
fixed-point theorem in a Banach space.
Keywords : General relativity, The Einstein
equations, Spherically symmetric spacetime, integro-differential equation.
Mémoire de MASTER
iv
Université de Yaoundé 1
? Table des matières ?
Résumé i
Abstract ii
Introduction 1
1 PRÉLIMINAIRES 2
1.1 Espace de Banach 2
1.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz 3
1.3 Quelques notions de géométrie
différentielle 4
1.4 Rappels de géométrie lorentzienne 10
1.4.1 Dérivée covariante d'un champ de tenseurs
15
2 ÉQUATION INTEGRO-DIFFÉRENTIELLE NON
LINÉAIRE OBTE-
NUE DU SYSTÈME D'EKG 18
2.1 Espace-temps à symétrie sphérique
18
2.1.1 Système d'EKG 21
2.2 Réduction du système d'EKG en une
équation intégro-différentielle du
premier ordre 25
3 THÉORÈME D'EXISTENCE ET
D'UNICITÉ POUR L'ÉQUATION INTEGRO-DIFFÉRENTIELLE NON
LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
28
3.1 Cardre fonctionnel 28
3.2 Théorème d'existence et d'unicité
(théorème principal) 29
3.2.1 Éléments de preuve du théorème
d'existence de d'unicité 30
Table des matières
3.2.2 Preuve du lemme 3.1 31
3.2.3 Preuve du lemme 3.2 44
3.3 Preuve du théorème d'existence et
d'unicité 51
Conclusion 52
Annexe 53
Bibliographie 55
Mémoire de MASTER
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