Memoire Online - Le milieu de résolution de situation problème : un lieu de production de techniques variées

La résolution de problèmes occupe une place considérable dans les pratiques didactiques des mathématiques à l'école élémentaire en France et bien dans d'autres pays. C'est un moyen qui permet à l'apprenant la dévolution aux problèmes, la manifestation des connaissances dans ses interactions avec le milieu (Brousseau, 1998) et occupe un espace non moins important dans les programmes (MEN, 2008) et le socle commun des connaissances et des compétences (décret, 2006) en France. Cette dévolution n'est possible qu'à travers des phases bien déterminées indique

athéron (2011). Les travaux de l'Institut national de recherche pédagogique, équipe de recherche en didactique des mathématiques, menés dans le sens de susciter des apprentissages par la résolution de problèmes, définissent à travers le manuel « apprentissages numériques et résolution de problèmes » les objectifs de chaque contenu et les phases de résolution de problèmes subdivisée en étapes successives.

Dans notre recherche, tout en nous inscrivant dans un champ comparatiste existant de l'agir ensemble (Assude T. & Mercier,A. 2007), nous voulons comprendre en quoi le milieu de résolution de problème est un lieu de production de techniques variées ?

1.3 HYPOTHESE DE LA RECHERCHE

Notre cadre théorique suffisamment édifiant sur les techniques qu'utilise l'homo-sapiens quelle que soit la tâche à laquelle il se confronte, nous amène à penser que les élèves vont utiliser dans la conduite de leur topos des manières de faire en s'appuyant sur les ostensifs , les non ostensifs et la mémoire pour expliquer les opérations.

2. Méthodologie

Ce travail de recherche est certes produit aux fins d'obtention d'un master 2 de recherche mais il s'inscrit précisément dans un champ d'actions dont l'articulation se fait autour du savoir-faire de l'apprenant lors d'une rencontre avec le savoir que lui propose l'enseignant. Un intérêt qui pourrait nous conduire à étendre notre observation au plus grand nombre. Nous avons plutôt choisi de travailler dans une classe d'une école primaire d'AIX-Marseille composée de CM1 et CM2 où les élèves sont supposés avoir accumulés des réflexes de raison. Cette classe, dont les effectifs de CM1 et CM2 étaient de 10 et 13, est un milieu de résolution de situation problème en mathématique et surtout qu'elle a l'habitude de la présence de la caméra et/ou des personnes étrangères.

Deux séances composées de quatre tâches du même type peuvent suffire pour offrir au chercheur la possibilité de collecter des données nécessaires à l'analyse. La première tâche que nous pouvons qualifier de moyen de révélation des techniques empruntes d'originalité ; parce que produite sans référence à une technique d'emploi dans la classe. A partir de la deuxième tâche, il peut avoir des influences langagières qui modifient de façon significative les pratiques des élèves, donc il y a la possibilité de voir un élève utiliser une technique déjà utilisée par un autre élève de la classe. Pour ce faire nous transcrirons l'oral de la leçon afin d'avoir la matière de structuration du synopsis, mais plus le champ de la recherche pratique présentant divers aspects des discours possibles. Nous exploiterons également à côté des transcriptions, les copies des élèves. Nous utilisons la méthode quantitative en raison de son principe qui veut que les hypothèses soient testées lors du travail de collecte de données à travers l'emploi d'instruments ou de documents qui permettent une vérification quantifiable.

Les séances filmées ont la tendance de présenter une diversité de phénomènes non perceptible à une simple observation faite en une fois. Le film a un attribut avéré de reprise du défilé d'actions produites par les acteurs de la scène. Le film nous permet de structurer le synopsis (le déroulement des opérations de l'enseignant et celles des élèves le dosage à travers les phases ou tâches du même type) grâce à un moment fastidieux mais riche de transcription et donc de voir les interventions des élèves dans l'action conjointe du professeur et des élèves afin d'établir une analyse possible. Il peut donc permettre de voir certains écrits des élèves d'enregistrer les justifications orales (logos) de ce que les élèves utilisent comme moyen (technique) pour arriver à la réponse attendue.

Nous avons utilisé deux caméras en affectant à chacune d'elles une mission bien précise :

Une caméra comme présentée dans le schéma ci-avant qui est une caméra posée sur l'axe centrale de la classe. Elle nous permet d'enregistrer toutes les actions produites ensemble dans les communications du groupe classe. Elle nous montre particulièrement comment l'enseignant définit les tâches de travail les dévolue les régule ou les institutionnalise. Elle permet certes de voir les justifications des élèves mais aussi de voir les interactions entre le professeur- élèves et entre les élèves.

Une autre caméra portable gardée dans la main du chercheur permet de filmer toutes actions individuelles de l'apprenant. Il s'agira à ce niveau de prendre ce qu'écrit chaque élève,

Pour observer comment les élèves de ces deux niveaux, mis ensemble, réagissent pour fournir l'attendu de l'enseignant qui les dévolue à quelques tâches définies dans le manuel scolaire « Apprentissages numériques et résolution de problèmes. » dont chacune intègre la question ci pertinente de la recherche de trois nombres qui se suivent dont la somme d'avance fixée. Les copies des élèves sont

toutes aussi importantes que le film, car elles offrent au chercheur le déroulement des opérations qui devra se montrer comme un mouvement continu d'étapes intelligibles ou plutôt comme un mouvement entrecoupé de marques de reprise susceptibles d'amener à la réponse.

Avant de regarder au détail, les productions des élèves à partir d'un problème il nous semble important d'établir une certaine compréhension autour :

? des problèmes didactiques que peut rencontrer l'enseignant dans le cadre du déroulement de ce savoir.

Ce savoir mathématique a été modélisé par l'Equipe de recherche en didactique des mathématiques à l'Institut national de recherche pédagogique et prescrit dans la collection d' Hatier ⁶ERMEL dont le titre est « apprentissage numériques et résolution de problèmes CM1 cycle 3. » (2005, p.62-66).Dans ce manuel l'articulation de l'apprentissage se fait en trois phases découpées en deux étapes chacune.

Le type de tâche est défini tel que le maître doit prendre un exemple au début pour expliquer en quoi consiste le problème. « Les nombres 5,6 et 7 sont trois nombres qui se suivent et leur somme est 18. Je vais vous donner un nombre qui va être la somme de trois nombres qui se suivent et vous, vous allez chercher ces trois nombres. » :

1ère étape : recherche pour s=96. Consigne : « vous allez chercher trois nombres qui se suivent dont la somme est 96. Ecrivez tous les calculs que vous faites, il faudra ensuite expliquer comment vous avez trouvé. ».

6 ERMEL : Equipe de Recherche sur les athématiques dans l'Enseignement Elémentaire.

1ère étape : recherche individuelle avec s=25 et s=45.l'objectif est de faire découvrir qu'il n'est pas toujours possible de trouver trois nombres qui se suivent correspondant à une somme donnée.

2ème étape : attendre des élèves une formulation des propositions apportant la preuve que c'est impossible avec s=25

Il s'agissait d'un cas de problème pouvant être assimilé aux équations du premier degré à une inconnue de la forme de : trouver x s'il existe tel que ( x -- 1) + x + (x + 1) = n (avec n E N) ou x + (x + 1) + (x + 2) = n (avec n E N) ; car si l'on considère x + (x + 1) + (x + 2) = n, on a : n = 3x + 3 = 3(x + 1) . Dans cette forme,

on sait que n est multiple de 3. Donc après la division de ^a , (x + 1) est considéré

comme deuxième terme successif. Le premier naturellement étant x si on introduit -1 à (x + 1) et le troisième en ajoutant + 1 sur (x + 1). L'idée de trois nombres qui se suivent est bien du domaine d'une suite de raison r = 1 ; ce qui peut bien sûr faire l'objet d'un apprentissage ou qui apporte le problème aux apprenants des niveaux de CM1 et CM2. La raison r est la condition de résolution à un degré superieur que demander simplement de trouver trois nombres identiques dont la somme se trouve être n multiple de 3 ou n= 3. x . Il y a un réel besoin de communication qui peut se produire entre l'arithmétique et l'algèbre. Chacun prenant appui sur l'autre pour expliquer le schéma de la résolution.

Nous savons que les tâches ou les types de tâches provoquent généralement chez l'homo-sapiens, des manières de faire qui sont parfois les mêmes. Le début du jeu est un moment nous semble-t-il tout indiqué pour voir à quoi l'élève va-t-il s'en tenir. Ainsi nous imaginons des techniques possibles(T) que pourraient dérouler les élèves de la classe choisie devant le problème présenté sous la façon suivante : trouvez trois nombres qui se suivent dont la somme (n) est donnée.

1 : multiplication d'un nombre x E N (pris au hasard) par 3 et voir si le produit donne . Puis considérer qu'ils sont trois nombres identiques et faire -- 1 pour le plus petit et x + 1 pour le plus grand.

T2 : décomposition du chiffre des dizaines et celui des unités pour trouver les trois nombres dont le nombre somme est 96. On a : 9 = 3+3+3 et 6= 3+2+1 pour le résultat suivant 31-32-33 ou décomposition des dizaines et essai d'unités. On a 96= 90+6 et on

écrit 90 = 30+30+30 ensuite à chaque 30, on y met un chiffre à la place de 0 et on voit si les trois chiffres constituent la suite dont le total est 6.

T3 : division du nombre somme ( n) par 3 pour trouver le deuxième nombre dans cette suite. Et successivement, on retranche 1sur le deuxième pour trouver le premier et on ajouter 1 au deuxième pour obtenir le troisième.

T4 : Technique intuitive. Elle relève des opérations mentales ne donnant pas l'occasion à l'enseignant de voir quelle est la procédure de résolution utilisée. Sur la feuille, on voit juste les trois nombres qui se suivent dont la somme est effectivement celle que l'enseignant a donnée. Cette technique peut être rangée parmi les techniques invisibles si l'élève ne l'explicite pas pour qu'une trace écrite nous situe.

T5 : tirage d'une suite quelconque au sein des entiers naturels et vérification de la proximité de leur somme à la somme donnée : il s'agit d'opérer dans un intervalle possible. 96 est la somme de trois nombres qui se suivent de deux chiffres et non un ou trois chiffres.

T6 : retrait du surplus des deux plus grands nombres du nombre somme, ensuite division par 3 pour obtenir le plus petit et ajouter successivement + 1 et +2 au plus petit_. On a 96-3=93, puis 93/3=31 et 31+1=32 ; 31+2=33.

Certains élèves qui pensent que ça marche avec tous les nombres, vont prendre du recul en se posant la question s»il n'y a pas des cas pour lesquels ça marche bien et d'autres pour lesquels ça ne marche pas.

Des élèves qui pensent que ça marche toujours pour vue qu'on accepte les nombres décimaux

Des élèves qui trouvent des nombres très proches dont la somme n ne vérifie pas le nombre donné. Exemple 25, ils peuvent trouver 7-8-9 avec n= 24 et 8-9-10 avec n= 27. Mais pour n =25, la solution n'existe pas !

La condition d'existence indiquée ci-haut de x qui existe tel que (x -- 1) + x + (x + 1) = n (avec n E N) est « n doit être multiple de 3 ». C'est pourquoi, il importe d'introduire deux cas de figure pour provoquer des interrogations à vocation ascendante dans leurs manières de faire :

n multiple de 3 ; c'est-à-dire n = 3(x + 1) et savoir s'il existe une solution car x existe. Exemple n =12 ; on sait que 12=3x4 ou 12= 3x (3+1). On peut utiliser les tables de multiplication ou la calculatrice pour vérifier 3x4 = ?

n non multiple de 3 ; c'est-à-dire n # 3(x + 1) et savoir s'il y a une solution car x n'existe pas. Exemple n =13 ; on sait que 13? 3 x un nombre entier. On peut utiliser les tables de multiplication et/ou la calculatrice pour vérifier qu'il n'existe aucun entier naturel qui soit multiplié par 3 pour obtenir 13.

Organiser le jeu pour mettre en action l'élève est ce qui explique la présence du professeur à l'école. Nous savons que les deux acteurs ont une histoire construite en classe autour des premiers savoirs donnés qui servent de point d'appui à la construction d'une nouvelle histoire. La modélisation réalisée sur le problème par l'équipe de recherche en mathématique a certes donné une forme accessible au savoir mais il reste à l'enseignant le pouvoir de réalisation. Dans le contrat didactique le professeur attend une réponse produite par l'usage d'une technique qui produit un intérêt à notre recherche. Si l'enseignant parvient à établir la compréhension suffisante du problème de recherche aux élèves nous pouvons penser qu'il s'appuiera sur les prés requis ou les acquis des élèves qui sont divers ; par exemple sur la maîtrise de la division euclidienne la multiplication les caractères de divisibilité d'un nombre par 3 ou les caractères de nombre multiple de 3.

Bien que l'enseignant sache compter sur les élèves mais il ignore les représentations réelles de ces derniers vis-à-vis du problème présenté. C'est pourquoi il peut s'agir de voir l'enseignant définir réguler et dévoluer la première tâche : ce que lui impose l'action didactique conjointe du professeur-élève.

Séance

Temps en

minutes

Nombre de

tours de parole

Organisation : Faire jouer le jeu

Jeu : étapes de

l'activité

Observations

1. (á)

0mn

6mn

Professeur : 11 Elèves : 9

? L'Enseignant définit et dévolue le type de tâche et la tâche1 aux élèves.

? L'écoute

individuelle des élèves

Type de tâche (T) :

trouver trois

nombres qui se

suivent dont la

somme est donnée !

Exemple : somme

= 18 ; les trois
nombres sont 5 ; 6 et 7.

t1 : trouver trois

nombres qui se
suivent dont le total est 96

Réactions de

compréhension

0mn

27,5mn

Professeur : 24 Elèves : 23

Travail individuel

Résolution du

problème :

Les élèves résolvent le problème chacun avec une technique. correction

10mn 22mn02s	Elèves : 34	avec tableau à 4 entrées et lignes pour explications. · Travail individuel des élèves.	maintenant sa technique ou en utilisant une technique présentée par un autre élèves · Les élèves qui travaillent sur 724 indiquent un reste de 1 ou le nombre moyen est décimal


		· Travail individuel et
32mn12		Ramassage des feuilles ; pas de correction au tableau
00mn		· Rappel du caractère de	t4 :	Réactions positives
		nombre divisible	· trouver trois nombres	:	Séance 2
4mn11 s		par 3 et des techniques utilisées	qui se suivent pour sept sommes connues (141 ;	impossib ilité ;
		lors de la séance 1.a	309 ; 251 ; 624 ; 563 ;	reste 1 et
		prolongée en 1.b et	701 et 414)	ne sont
		prolongée en 1.b et	701 et 414)	ne sont
17mn12s	Prof : 101	approfondissement	· Deux nouvelles sommes pour les élèves qui ont fini	pas divisible
		Distribution de	(525 et 421)
19mn05s	Elèves : 73	feuilles récupérées à la fin · Régulation	· Extension avec cinq nombres dont la somme est 525, quatre nombres dont la somme est	s par 3
			324 et sept nombres dont la somme est
			1267
33mn45s- 51mn30		· Travail individuel des élèves.	Résolution de problèmes et discussion pour 324
33mn45s- 51mn30	récréation	· Travail individuel des élèves.	Résolution de problèmes et discussion pour 324
			Correction.
			Correction.
	0mn-4mn45

Le recueil de données qui s'est fait en dates du 28mars et du 02 avril 2013 et qui portait sur le travail des élèves à travers les tâches (t1- t2- t 3- t4) susmentionnées dans le tableau synoptique ci-dessus, présente quelques aspects y résumés. Au début de la tâche (t1) l'enseignant dans l'esprit de la présentation du savoir tel qu'indiqué dans la ressource exploitée, définit le type de tâche (T) en prenant un exemple avec le petit nombre somme 18. Le professeur (y) effectue la somme de 5 ; 6 et 7 pour montrer deux choses :

Cet exemple choisi est un moyen de dévolution des élèves au problème et d'adaptation que le professeur (y) met en action dans son topos pour faire comprendre la règle du jeu qui est de trouver trois nombres qui se suivent dont la somme (multiple ou non multiple de 3) est donnée. Des comportements de recherche de compréhension se manifestent par des questions pertinentes des élèves. L'enseignant qui compte sur les ressources individuelles des élèves leur donne l'occasion de travailler seul. Cette façon permet à chaque apprenant de générer des éléments de technique personnelle. C'est un travail qui se fait entre d'importants moments des séances. Pour la tâche (t1) on observe 27mn 30s d'activité accordées aux élèves dont l'attendu de l'enseignant est la réponse au problème posé. Pour la tâche (t2), on a 6mn45s ; la tâche (t3), 12mn02s et la tâche (t4) ,17mn45s. On voit bien que les élèves ont pris assez de temps lors de leur premier contact avec le savoir.

S'il est vrai que le travail individuel pour le chercheur permet de voir ce qu'utilise chaque acteur ( i) comme technique dans ce jeu, il est aussi vrai que la mise au net ou correction lui permet de voir les causes des changements des techniques par certains élèves ( 1 ... 23) lors d'une autre tâche.

Le milieu de résolution de situation problème : un lieu de production de techniques variées

1.2 QUESTION DE RECHERCHE

1.3 HYPOTHESE DE LA RECHERCHE

2. Méthodologie