2.2 Les processus intégrants
Définition 2.2.1. Soit X =
(X(t))tE[a,b] un processus défini sur l'espace filtré
(Ù,F,Ftt>0,P).
1) On dit que X est dans la classe Ë2
si X est progressivement mesurable et si
Z b a
|
X2(t)dt < +8,P-p.s.
|
|
2) On dit que X est dans la classe M2 si X est
progressivement mesurable et si
( )
Z b
E a X2(t)dt < +8
Z b
où a X2(t)dt est la variable
aléatoire qui pour tout w ? Ù est égale à
l 'intégrale de Z b
Lebesgue a X2(t,w)dt.
Remarque 6.
· On a clairement
2 ? M2 ? Ë2
·
Ë2(resp.M2,) est un espace
vectoriel pour les opérations usuelles d'addition des processus
(?X,Y ? Ë2,X + Y = ((X(t) + Y
(t))tE[a,b]) et la multiplication d'un processus par un scalaire (?X
? R,Y ? À2,ÀX = (ÀX(t))t
? [a,b]).
· M2 c'est la structure la plus
intéressante car c'est un espace de Hilbert, on constate que tout X
? M2 s'identifie à un élément de
L2([a,b] × Ù,B[a,b] ? F,dt
? dP) puisque la condition (3.2) s'écrit
( )
Z b
kXkL2([a,b]xÙ,dt®dP) =
E a X2(t)dt
Z= [a,b]xÙ(X2(t,w))dtdP <
+8.
2.2.1 Aspects hilbertiens de l'intégrale
stochastique
Proposition 11. M2 est un sous
espace fermé de l'espace de Hilbert
L2([a,b] ×
Ù,B[a,b] ? F,dt ? dP)
Notation : Pour simplifier l'écriture,
on notera kXkL2([a,b]xÙ,dt®dP) =
kXkM2 norme du processus X de l'espace de
Hilbert M2.
T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE
STOCHASTIQUE
39
Théorème 2.1. L'espace
1-2 des processus élémentaires de
carré intégrable est un sous-espace dense de l'espace de Hilbert
M2.
(i.e.VX E M2,?(X)n E
1-2 : lim 11Xn - X11M2 = 0)
n--+oo
f
b
Corollaire 2.2. L'isométrie X i-+
I(X) := X(t)dB(t) de 1-2 dans
L2(SZ,P) se pro-
longe de manière unique en une isométrie de
M2 dans L2(SZ,P) Pour
X E M2 on posera
b
I(X) = f X(t)dB(t)
a
et on l'appellera l'intégrale stochastique de X sur
l'intervalle [a,b].
Remarque 7. :Pour déterminer
pratiquement l'intégrale stochastique d'un processus X E
M2, on doit donc trouver une suite de processus
élémentaires Xn E 1-2 qui converge
vers X au sens de la norme 11.11M2.On a alors :
b
n lim fa Xn(t)dB(t) = f
bX(t)dB(t)
Toutes les propriétés de l'intégrale
stochastique des processus élémentaires de la proposition 7 sont
valables pour les processus de M2.
Z b
Proposition 12. L'application X i-?
a X(t)dB(t) est linéaire de M2 dans
L2(SZ,P) et
pour tout X E M2, on a
(fb)
= 0
?2
E (fbX(t)dB(t)) = E
(abX2(t)dt)
Exemple 1. (Calcul d'une intégrale
stochastique) Soit a > 0 On va calculer l'intégrale
a
stochastique f B(t)dB(t) où B est le
mouvement brownien restreint à l'intervalle [0,a].
0
Soit B E M2 . En effetB est à
trajectoires continues donc progressivement mesurable d'après le
théorème (3.1) et :
Z a ~ Z a
E 0 B2(t)dt =
0 E(B2(t)dt
= f atdt
0
a
= 2 < +oc
donc l'intégrale I a un sens. Considérons
alors la subdivision ðn de l'intervalle [0,a] constituée
des points,
tk =
ka
2n , k = 0,1,2,···,n
T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE
STOCHASTIQUE
et les processus élémentaires
Xn = (Xn(t))tE[0,a]
définissent par :
|
Xn(t) =
|
2n-1
X
i=0
|
Bka 2n
|
1[ ka
2n ,(k+1)a
2n [(t)
|
La suite Xn converge vers B dans
M2. En effet
? ?
Z a ~ n-1X Z (k+1)a
E 0 (Xn(t) -
B(t))2dt = E ? 2n
(Xn(t) -
B(t))2dt
2n ?
ka
i=0
=
=
2n-1Z (k+1)a
X 2n E((B(t)
-Bka )2)dt
ka 2n
i=0 2n
2n-1Z (k+1)a
X 2n ka
(t - 2n )dt
ka
i=0 2n
1 a
2 2n+1 =
-? 0 (n ? +8)
a2
2n+1
40
Calculons maintenant l'intégrale stochastique de
Xn :
Z b 2n-1X
a Xn(t)dB(t) =
Bka
2n (B(k+1)a
2n -Bka
2n )
i=0
-B2ka
-(B(k+1)a -
Bka)21[B2(k+1)a
2n 2n 2n 2n
~ 2n-1X 2
1 2n-1~ ~
X
=
B2(k+1)a - 1
2n -B2ka
B(k+1)a
2n - Bka
2 2n 2 2n
i=0 i=0
La première des sommes ci-dessus est
télescopique et vaut Ba(car B0 = 0). La
deuxième somme est égale à la variation quadratique
Sðn de B sur l'intervalle [a,b], on sait
que
|
lim
n-++oo
|
Sðn = a (dans
L2)
|
Résultat : Il en
résulte que
Za
0 B(t)dB(t) =
12(B2a -
a).
| 
