2.3 L'intégrale stochastique comme processus La
martingale intégrale stochastique
Supposons que le mouvement brownien B =
(Ù,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P)
qui définie les intégrales stochastiques a une filtration
complète i.e pour tout t = 0, la tribu Ft
T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE
STOCHASTIQUE
41
contient les ensembles négligeables de F.
L'intervalle d'intégration sera [0,T] ,(T
> 0).Pour un processus X E
Ë2([0,T]), on
considère l'intégrale
Z t
I(t) = 0 X(s)dB(s) (t E [0,T])
Proposition 13. Le processus I =
(I(t))tE[0,T] est adapté à la filtration
(Ft)tE[0,T].
Théorème 2.2. Si X est un
processus de M2, alors le processus I = (I(t))tE[0,T] est une
martingale de carré intégrable, adaptée à la
filtration brownienne FBt =
cr(B(s),s t).
Corollaire 2.3. (théorème
d'arrêt) Soit X E M2([0,T]) et r un temps
d'arrêt de la filtration brownienne tel que r T. Alors le
processus
Z t?ô
I(t ? r) = 0 X(s)dB(s) (t E
[0,T])
est une martingale.
42
Notions sur le calcul stochastique
d'Itô
Soit B =
(Q,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P)
un mouvement brownien continu , et T > 0 un temps
fixé.
On considère les espaces de processus intégrants
Ap([0,t]), p > 1 (i.e les processus X
progressivement mesurables tels que IP-p.s, t i-+ X(t,w)
est dans Lp([0,T]) (resp.l'espace
M2([0,T])).
3.0.1 Notion de processus d'Itô
Définition 3.0.1. Un processus X =
(X(t))tE[0,T] définie sur (Q,F,P) et
adapté à la filtration (Ft)tE[0,T] est
appelé processus d'Itô s'il est de la forme :
Z t Z t
X(t) = X(0) + 0 a(s)ds + 0
b(s)dB(s) (Vt E [0,T])
Où a E A1 et b E A2 sont deux
processus.
Le processus X admet la différentielle
stochastique
dX(t) = a(t)dt + b(t)dt
Remarque 8. On notera que ®
équivaut à dire que pour tous 0 < t1 <
t2 < T on a
X(t1) - X(t2) = f
t2 a(s)ds + f t2 b(s)dB(s).
t1 t1
-On peut définir la notion de processus d'Itô
sur n'importe quel intervalle de temps [c,d] 0 < c < d.
Ainsi un processus X = (X(t))tE[c,d] adapté à
la filtration est d'Itô, s'il est de la forme
Z t Z t
X(t) = X(c) + c a(s)ds + c b(s)dB(s)
(Vt E [c,d])
Où a E A1([c,d]) et b E A2([c,d])
sont deux processus.
T.Souali CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LE CALCUL STOCHASTIQUE
D'ITÔ
Exemple 2. On sait que
Z t
0 B(s)dB(s) =
12(B2(t) - t)
i.e
Remarque 9. On a
Comme l'intégrale
t
B2(t) = t + 2 fo
B(s)dB(s)
t
B2(t) - t = 2 fo
B(s)dB(s)
Z t
0 B(s)dB(s)
est une martingale Alors
B2(t) - t
43
est une martingale.
qu'on peut récrire la sous forme di~érentielle
:
d(B2(t)) = dt + 2B(t)dB(t).
3.0.2 La formule d'Itô
Théorème 3.1. Soit X un
processus d'Itô sur l'intervalle [0,T] de di~érentielle
stochastique.
dX(t) = a(t)dt + b(t)dt
Soit f : (t,x) i- f f(t,x) une fonction définie de
R+ x R à valeurs dans R.
f est de classe C2 par rapport la
variable x et de classe C1 par rapport la variable t. Alors
: (f(X(t),t))tE[0,T] est un processus d'Itô qui a pour
di~érentielle stochastique :
?f ?f 1 ?2f
d(f(X(t),t)) = ?t (X(t),t)dt + ?x(X(t),t)dX(t) +
?x2 (X(t),t)b2(t)dt (3.1)
2
Le terme suivant 2 âx2
(X(t),t)(bt)2dt s'appelle le terme complémentaire
d'Itô.
l'équation (3.1) équivalent à
f(X(t),t) = f(X(0),0)+ f t (X(s),s)ds+lo?f
t (X(s),s)dX(s)+?f 2 lot ax
(X(s),s)b2(s)ds ?x
On peut généraliser le théorème
(3.1) à un nombre fini quelconque de processus d'Itô.
T.Souali CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LE CALCUL STOCHASTIQUE
D'ITÔ
44
Théorème 3.2. Soient
(X1(t),X2(t),··· ,Xm(t)), des
processus d'Itô de di~érentielles respectives
dXi(t) = ai(t)dt + bi(t)dt, i = 1,···
,m
et soit f E
C1,2(1[8mx1[8+)
une fonction à valeurs réelles. Si on poseX(t) =
(X1(t),X2(t),··· ,Xm(t)), le
processus (f(X(t),t))tE[0,T] est d'Itô et il a une
di~érentielle stochastique donnée par :
m d(f(X(t),t)) = at (X(t),t)dt+E ax
(X(t),t)dXi(t)+ 1 E axe' (X(t),t)bi(t)bj(t)dt
i=1 a 7
(3.2)
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Avec 21
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Em i,j=1
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?2f (X(t),t)bi(t)bj(t)dt est
le terme complémentaire d'Itô. ?xiyj
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