Marche aléatoire,mouvement brownien et applications

2.3 L'intégrale stochastique comme processus La martingale intégrale stochastique

Supposons que le mouvement brownien B = (Ù,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P) qui définie les intégrales stochastiques a une filtration complète i.e pour tout t = 0, la tribu Ft

T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE STOCHASTIQUE

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contient les ensembles négligeables de F.

L'intervalle d'intégration sera [0,T] ,(T > 0).Pour un processus X E ˲([0,T]), on

considère l'intégrale

Z t

I(t) = 0 X(s)dB(s) (t E [0,T])

Proposition 13. Le processus I = (I(t))tE[0,T] est adapté à la filtration (Ft)tE[0,T].

Théorème 2.2. Si X est un processus de M², alors le processus I = (I(t))tE[0,T] est une martingale de carré intégrable, adaptée à la filtration brownienne F^B_t = cr(B(s),s t).

Corollaire 2.3. (théorème d'arrêt) Soit X E M²([0,T]) et r un temps d'arrêt de la filtration brownienne tel que r T. Alors le processus

Z t?ô

I(t ? r) = 0 X(s)dB(s) (t E [0,T])

est une martingale.

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Notions sur le calcul stochastique d'Itô

Soit B = (Q,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P) un mouvement brownien continu , et T > 0 un temps fixé.

On considère les espaces de processus intégrants Ap([0,t]), p > 1 (i.e les processus X progressivement mesurables tels que IP-p.s, t i-+ X(t,w) est dans Lp([0,T]) (resp.l'espace M²([0,T])).

3.0.1 Notion de processus d'Itô

Définition 3.0.1. Un processus X = (X(t))tE[0,T] définie sur (Q,F,P) et adapté à la filtration (Ft)tE[0,T] est appelé processus d'Itô s'il est de la forme :

Z t Z t

X(t) = X(0) + ₀ a(s)ds + ₀ b(s)dB(s) (Vt E [0,T])

Où a E A1 et b E A2 sont deux processus.

Le processus X admet la différentielle stochastique

dX(t) = a(t)dt + b(t)dt

Remarque 8. On notera que ® équivaut à dire que pour tous 0 < t1 < t2 < T on a

X(t1) - X(t2) = f t2 a(s)ds + f t2 b(s)dB(s).

t1 t1

-On peut définir la notion de processus d'Itô sur n'importe quel intervalle de temps [c,d] 0 < c < d. Ainsi un processus X = (X(t))tE[c,d] adapté à la filtration est d'Itô, s'il est de la forme

Z t Z t

X(t) = X(c) + _c a(s)ds + _c b(s)dB(s) (Vt E [c,d])

Où a E A1([c,d]) et b E A2([c,d]) sont deux processus.

T.Souali CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LE CALCUL STOCHASTIQUE D'ITÔ

Exemple 2. On sait que

Z t

0 B(s)dB(s) = ¹₂(B²(t) - t)

i.e

Remarque 9. On a

Comme l'intégrale

t

B²(t) = t + 2 ^fo B(s)dB(s)

t

B²(t) - t = 2 ^fo B(s)dB(s)

Z t

0 B(s)dB(s)

est une martingale Alors

B²(t) - t

43

est une martingale.

qu'on peut récrire la sous forme di~érentielle :

d(B²(t)) = dt + 2B(t)dB(t). 3.0.2 La formule d'Itô

Théorème 3.1. Soit X un processus d'Itô sur l'intervalle [0,T] de di~érentielle stochastique.

dX(t) = a(t)dt + b(t)dt

Soit f : (t,x) i- f f(t,x) une fonction définie de R+ x R à valeurs dans R.

f est de classe C² par rapport la variable x et de classe C¹ par rapport la variable t. Alors : (f(X(t),t))tE[0,T] est un processus d'Itô qui a pour di~érentielle stochastique :

?f ?f 1 ?²f

d(f(X(t),t)) = ?t (X(t),t)dt + _?x(X(t),t)dX(t) + ?x2 (X(t),t)b²(t)dt (3.1)

2

Le terme suivant 2 âx2 (X(t),t)(bt)²dt s'appelle le terme complémentaire d'Itô.

l'équation (3.1) équivalent à

f(X(t),t) = f(X(0),0)+ f t (X(s),s)ds+lo?f t (X(s),s)dX(s)+?f 2 _lot ax (X(s),s)b²(s)ds ?x

On peut généraliser le théorème (3.1) à un nombre fini quelconque de processus d'Itô.

T.Souali CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LE CALCUL STOCHASTIQUE D'ITÔ

44

Théorème 3.2. Soient (X1(t),X2(t),··· ,X_m(t)), des processus d'Itô de di~érentielles respectives

dXi(t) = ai(t)dt + bi(t)dt, i = 1,··· ,m

et soit f E C^1,2(1[8^mx1[8+) une fonction à valeurs réelles. Si on poseX(t) = (X1(t),X2(t),··· ,X_m(t)), le processus (f(X(t),t))tE[0,T] est d'Itô et il a une di~érentielle stochastique donnée par :

m d(f(X(t),t)) = at _(X(t),t)dt+E ax _{(X(t),t)dXi(t)+} 1 E axe' (X(t),t)bi(t)bj(t)dt

i=1 a 7

(3.2)

Avec 21

Em i,j=1

?2f (X(t),t)bi(t)bj(t)dt est le terme complémentaire d'Itô. ?xiyj