4.1.2 Problème de Dirichlet
multi-dimensionnel
Soit D un ouvert borné de Rd où
d E N*,puis soit f : âD --3 R une
fonction continue. Alors le problème de Dirichlet consiste à
trouver une fonction u tel que :
|
{
|
u E C(D,R) f1
C2(D,R) Äu = 0 si sur D
u = f si sur OD
|
Définition 4.1.2.
· La
fonction v : D -3 R de classe C2 est harmonique si
Äv = 0. Pour tout x E Rd et
r > 0, la boule et la sphère de centre x et de rayon r sont
notées
B(x,r) = {y E Rd :
|x - y| < r} et S(r,x) = {y
E Rd : |x - y| = r} et
la boule fermée de centre x et de rayon r est notée
B(x,r) = B(x,r) U
S(x,r) = {y E Rd : |x -
y| < r}
. On notera parfois OB(x,r) =
S(x,r).
· On dit que la fonction v : D -3 R
véri~e la propriété de la moyenne si pour tout x
E D et r > 0 tel que B(x,r) c D on
a
1
v(x) = u(S(x,r))
faB(x,r) v(z)du(z)
u : La mesure surfacique de Lebesgue sur
Rd.
T.Souali CHAPITRE 4. APPLICATIONS
49
4.1.3 Interprétation probabiliste du
problème de Dirichlet
Le problème de Dirichlet continu a été
étudié au dix-neuvième siècle et doit son nom au
mathématicien Peter Gustav Lejeune Dirichlet. La solution probabiliste
du problème de Dirichlet continu, due à Shizuo Kakutani, date du
milieu du vingtième siècle. Le problème de Dirichlet
continu se situe à la confluence des probabilités (mouvement
brownien), de la théorie du potentiel, de l'analyse harmonique, et des
équations aux dérivées partielles, elle sont
développée par Paul Lévy et Joseph Leo Doob au cours du
vingtième siècle. La thoérie de probabilité
permette de résoudre le problème de manière
approché.
· Soit B(t) un mouvement brownien avec B(0) =
x sur Rd et
r = inf{t > 0 : B(t) E
ÔD}
Le temps de sortie de l'intervalle D pour
(B(t))t~0.
· On note Ex l'espérance sachant
B(0) = x.
· Le mouvement brownien est un processus de Markov fort
et la formule d'Itô assure que si f est une fonction de classe
C2 sur Rd dans R à
dérivées borné, alors
Z t Z t
f(B(t)) = f(B(0)) + 0 Vf(B(s))dB(s) + 1 0
Äf(B(s))ds. (4.1)
2
Z t
L'intégrale stochastique 0
Vf(B(s))dB(s) est une martingale.
Le lien entre probabilités et analyse est contenue dans la
remarque suivante: Remarque 11. (f(B(t)))t~0 est une
martingale si f est une fonction harmonique.
Proposition 17. La fonction u : D 7?
R est harmonique, si et seulement si u vérifie la
propriété de la moyenne.
Nous prenons l'exemple du problème de Dirichlet sur
l'intervalle D =]0,1[x]0,1[ soit le problème:
|
?
?
?
|
Ä(x,y) = 0 si (x,y) E D
u(x,y) = b(x,y) si (x,y) E ÔD
|
|
Théorème 4.3. Soit (x0,y0)
E on a :
|
D, B(0) = (x0,y0) et r = inf{t ~ 0 : B(t)
E ÔD} alors
|
1) P(r < +oc) = 1
2) u(x0,y0) = E(b(B(r)/B(0) = (x0,y0))) est
solution du problème de Dirichlet.
Théorème 4.4.
(Harmonicité de la représentation
probabiliste)
La fonction v définie sur D par v(x) =
Ex(b(B(r))) est harmonique sur D.
T.Souali CHAPITRE 4. APPLICATIONS
50
Remarque 12. La représentation
probabiliste ci-dessus montre que la solution du problème de Dirichlet
en un point x de D s'écrit comme la moyenne des valeurs aux bords
pondérées par la loi du lieu de sortie d'un mouvement brownien
issu de x.
Démonstration. (théorème 4.3)
2) Supposons que u E
C2(R2) est une solution au
problème de Dirichlet sur D. La formule d'Itô (4.1)
vérifie que:
Z t?r Z t?r
u(B(t ? r)) = u(B(0)) + 0
Vu(B(s))dB(s) + 1 0 Äu(B(s))ds
2
Soit B E D,pour tout s E [0,t]
on a Äu(B(s)) = 0 Donc
1 Z t?r
0 Äf(B(s))ds = 0
2
Z t?r
L'intégrale stochastique 0 Vf(B(s))dB(s)
est une martingale pour t.
Alors pour tout (x0,y0) E
D
E(u(B(r ?t)/B(0) = (x0,y0))) =
E(u(B(0))/B(0) = (x0,y0)) = u(x,y) Puisque r
est nul et que u est borné sur D, lorsque t
tend vers +00 alors
u(x,y) = E(u(B(r))/B(0) = (x0,y0))) =
E(b(B(r))/B(0) = (x0,y0)))
| 
