Marche aléatoire,mouvement brownien et applications

4.1 Mouvement brownien et Problème de Dirichlet

Dans ce chapitre on parlera du problème de Dirichlet continue, en liaison avec le mouvement Brownien puis on déterminons la solution de ce problème par la formule d'Itô. Puis en étudiant le modèle de Black-Scholes. On commence tout d'abord par l'étude du problème de Dirichlet uni-dimensionnel sur l'intervalle borné [a,b].

4.1.1 Problème de Dirichlet uni-dimensionnel

Rappel

Définition 4.1.1. (temps d'arrêt) Une variable aléatoire T à valeurs réelles est un temps d'arrêt si :

Vt ~ 0, l'événement {T t} et Jt - mesurable

Proposition 14. Si S et T sont deux temps d'arrêts, alors le temps aléatoire S ? T défini par S(w) ? T(w) = min(S(w),T(w) est un temps d'arrêt.

Théorème 4.1. (théorème d'arrêt)

1) Soit M une martingale. Si T est un temps d'arrêt borné, on a

E(MT) = E(M0)

2) Soit X un processus Jt adapté tel que pour tout t, E(|X(t)|) < +oc. Alors X est une martingale si et seulement si pour tout temps d'arrêt T borné, XT E L¹ et E(XT) = E(X0).

Proposition 15. Considérons une martingale M et un temps d'arrêt T. Alors le processus Mt défini par M^T_t = MT?t est une martingale, appelée martingale arrêtée au temps T.

T.Souali CHAPITRE 4. APPLICATIONS

47

Temps d'atteinte des bornes d'un intervalle

Soit B un mouvement brownien, et introduisons pour a > 0 le temps d'arrêt T_a = inf{t > 0,B(t) = a}.

Considérons la martingale M^ë(t) = exp(ÀB(t)- ë2 2 t) pour un À > 0 et N(t) = M^ë(T_a) qui est la martingale, arrêter au temps T_a. Ainsi nous avons N(t) = M^ë(T_a ? t), d'où nous déduisons 0 < N(t) < e^aë, ce qui entraîne que N est bornée.

Nous pouvons donc appliquer le théorème d'arrêt à la martingale N et au temps d'arrêt

T_a, ce qui donne E(N(T_a)) = E(N(0)) = 1. Puisque N(T_a) = exp(Àa - ë2 2 T_a) et en posant = ë2 2 , nous en déduisons que

"

E(e_^èTa) = _e_a 2è_.

En faisant tendre vers 0 et par théorème de convergence dominée, il est facile d'obtenir P(T_a < +oc) = 1.

On considère a > 0 et b > 0 et soit T = min(T_a,Tb), on sait que T < +oc P-p.s i.e P(T < +oc) = 1.

Proposition 16. Soit B un mouvement brownien issu de 0 la probabilité de sortie de l'in-tervalle] - b,a[ sont données par

b a

P(T_a < T_b) = a + b ;P(T_b < T_a) = a+b

et

E(T) = ab.

Démonstration. On sait que P(T < +oc) = 1, donc

P(T_a < T_b)+P(T_b < T_a) = 1.

Soit la martingale arrêtée Mt = BT?t, on applique le théorème (4.1) au temps T alors

0 = E(M0) = E(MT) = a P(T = T_a) - b P(T = T_b)

Puisque {T = T_a} = {T_a < T_b} et {T = T_b} = {T_b < T_a} on obtient le résultat

b a

P(T_a < T_b) = a+b ;P(T_b < T_a) = a+b.

T.Souali CHAPITRE 4. APPLICATIONS

?

?

?

48

Soit le problème :

u"(x) = 0 si x E [a,b] u(x) = f(x) si x E â[a,b]

avec [a,b] c R,[a,b] borné et u : R -3 R de classe C².

Théorème 4.2. Soit x E [a,b], et soit r = inf{t > 0/B(t) E â([a,b])} est un temps d'arrêt appelé temps de sortir de l'intervalle [a,b] alors :

1) P(r < +oc) = 1.

2) u(x) = E_x(f(B(r))) est solution du problème de Dirichlet.