1.4 Équations d'Euler et système
différentiel en u = (uá)
1 ) +
FáëVáFâ
d'où : -
4Vâ(FëáFëá ë
= 0
Ainsi nous avons :
VáTáâ
=
FâëVáFáë
Les équations d'Euler expriment la conservation du tenseur
d'impulsion-énergie Táâ qui s'écrit :
VáTáâ
= 0 (1.42)
Mais il est prouvé dans [6] que si f
vérifie l'équation de Boltzmann (1.23) alors
T1áâ défini par
(1.39) vérifie
VáT1,áâ = 0.
(1.42) se réduit donc, vue l'expression (1.38) de
Táâ et (1.41) à :
FâëVáFáë
+
Vá(ñ0uáuâ)
= 0 (1.43)
(1.43) s'écrit en utilisant les équations
de Maxwell (1.10) :
FâëJë
+
uâVá(ñ0uá)
+
(ñ0uá)Váuâ
= 0 (1.44)
La multiplication contractée de (1.44) par
uâ donne, compte tenu de : uâuâ =
-1 et uâVáuâ
= 0 :
Vá(ñ0uá)
=
FâëJëuâ
(1.45)
Puisque ñ0 > 0 est une constante,
(1.45) permet d'exprimer la quantité
Váuá. En reportant la
valeur de
Vá(ñ0uá)
fournie par (1.45) dans (1.44) on obtient :
FâëJë
+
uâ(FuëJëuu)
+
(ñ0uá)Váuâ
= 0
soit :
|
uáVáuâ
= - 1
ñ0
|
FâëJë
- 1
ñ0
|
FáëJëuáuâ
(1.46)
|
|
FâëJë
- 1
ñ0
|
FáëJëuáuâ
|
|
FâëJë
- 1
ñ0
|
FáëJëuáuâ
|
|
FâëJë
- 1
ñ0
|
FáëJëuáuâ
|
C'est (1.46) qui fournira le système
différentiel qui détermine le champ unitaire u =
(uá). En effet (1.46) donne :
uáVáuâ
= - 1
ñ0
uá(?áuâ
+ râáëuë) =
-
1
ñ0
1
u0?0uâ +
râáëuáuë
= -
ñ0
|
uáuë
?0u = -
â râáë
u0
|
ñ0u0 Fâ
1 ëJë - 1
ñ0u0 Fá
ëJëuáuâ
|
1.5 Le système couplé à
étudier
d'où :
1
ñ°u°FâëJë-
1
ñ°u°FáëJëuáuâ
(1.47)
_ uáu
r
uâ -- -aa
u°
Mémoire de MASTER 14 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
Remarque 1.2. On sait que
J° = 0. Dans [12], l'hypothèse que f
est invariant par SO3 et que les particules sont supposées spatialement
au repos, entrainent que pour â = i, l'intégrale dans
(1.12) est nulle et ui = 0 ; d'où
Ji = 0.
L'équation (1.21) en
F°i correspondante était donc
homogène et se résolvait donc aussitôt pour donner
F°i = â°
F°i(0) ce qui avait permis de
découpler l'équation en F.
Ici la situation est très différente car
Ji =? 0 et les équations
(1.21) en F°i et
(1.47) en uâ doivent être
couplées au système du début à la fin.
| 
