Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

1.4 Équations d'Euler et système différentiel en u = (uá)

1 ) + F^áëV_áF^â

d'où : - 4Vâ(FëáFëá ë = 0

Ainsi nous avons :

V_áT^áâ = F^â_ëV_áF^áë

Les équations d'Euler expriment la conservation du tenseur d'impulsion-énergie Táâ qui s'écrit :

V_áT^áâ = 0 (1.42)

Mais il est prouvé dans [6] que si f vérifie l'équation de Boltzmann (1.23) alors T¹_áâ défini par (1.39) vérifie V_áT^1,áâ = 0. (1.42) se réduit donc, vue l'expression (1.38) de _Táâ et (1.41) à :

F^â_ëV_áF^áë + V_á(ñ0u^áu^â) = 0 (1.43)

(1.43) s'écrit en utilisant les équations de Maxwell (1.10) :

F^â_ëJ^ë + u^âV_á(ñ0u^á) + (ñ0u^á)V_áu^â = 0 (1.44)

La multiplication contractée de (1.44) par uâ donne, compte tenu de : uâuâ = -1 et uâV_áuâ = 0 :

V_á(ñ0u^á) = F^â_ëJ^ëuâ (1.45)

Puisque ñ0 > 0 est une constante, (1.45) permet d'exprimer la quantité V_áu^á. En reportant la valeur de V_á(ñ0u^á) fournie par (1.45) dans (1.44) on obtient :

F^â_ëJ^ë + u^â(F^u_ëJ^ëu_u) + (ñ0u^á)V_áu^â = 0

soit :

u^áVáu^â = - 1 ñ0		F^âëJ^ë - 1 ñ0		F^áëJ^ëuáu^â (1.46)
F^âëJ^ë - 1 ñ0	F^áëJ^ëuáu^â
F^âëJ^ë - 1 ñ0	F^áëJ^ëuáu^â
F^âëJ^ë - 1 ñ0	F^áëJ^ëuáu^â

C'est (1.46) qui fournira le système différentiel qui détermine le champ unitaire u = (u^á). En effet (1.46) donne :

u^áV_áu^â = - 1

ñ0

u^á(?_áu^â + r^â_áëu^ë) = -

1

ñ0

1

u⁰?0u^â + r^â_áëu^áu^ë = -

ñ0

u^áu^ë ?0u = - â r^âáë u0

ñ0u0 Fâ 1 ëJ^ë - 1 ñ0u0 Fá ëJëuáuâ

1.5 Le système couplé à étudier

d'où :

1

ñ°u°FâëJë- 1

ñ°u°FáëJëuáuâ (1.47)

_ uáu

r

uâ -- -aa

_u°

Mémoire de MASTER 14 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

Remarque 1.2. On sait que J^° = 0. Dans [12], l'hypothèse que f est invariant par SO3 et que les particules sont supposées spatialement au repos, entrainent que pour â = i, l'intégrale dans (1.12) est nulle et uⁱ = 0 ; d'où Jⁱ = 0.

L'équation (1.21) en F^°i correspondante était donc homogène et se résolvait donc aussitôt pour donner F^°i = â° F^°i(0) ce qui avait permis de découpler l'équation en F.

Ici la situation est très différente car Jⁱ =? 0 et les équations (1.21) en F^°i et (1.47) en uâ doivent être couplées au système du début à la fin.