Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

1.4 Équations d'Euler et système différentiel en u = (uá)

Le contenu matériel et énergétique de l'espace-temps (118⁴,g) est représenté par le tenseur d'impulsion-énergie _Táâ défini en fonction de la fonction de distribution f des particules, du champ électromagnétique F, de la pseudo-densité constante ñ0 > 0 des particules et du vecteur-vitesse matérielle u = (u^á) par :

Táâ = T¹_áâ + ôáâ + ñ0uáuâ (1.38)

Mémoire de MASTER 12 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

1.4 Équations d'Euler et système différentiel en u = (uá)

où :

{ T1áâ = .IR3 p«psf(teab2dp (1.39)

ôáâ = -g??

₄ F^ëuFë_u + FáëF ë (1.40)
â

ôáâ défini par (1.40) est appelé tenseur de Maxwell associé au champ électromagnétique F.

Lemme 1.1. Le tenseur de Maxwell T^áâ vérifie la relation :

?_áT^áâ = F^â_ë?_áF^áë (1.41)

Preuve. (1.40) donne :

Táâ = -gáâ 4

F^ëuFëu + F^áëF^âë

d'où

áâ

?_áT^áâ = -^g₄ ?_á (F^ëuFë_u) + ?_á (F^á_ëF^âë)

1 ?^â(F^ëáFë_á) + ?á (F áë_F â )

ë

?^â(F^ëáFë_á) + F^áë?_áF^â_ë + F^â_ë?_áF^áë

4

1

4

= -

= -

Donc pour avoir (1.41), il nous suffit de montrer que :

1 ) + Fáë?áF â -4?â(FëáFëá ë = D'après les équations de Maxwell (1.11), on a :					0
	?âFëá + ?ëFáâ + ?áFâë	=	0
d'où
	F^ëá?âFëá + F^ëá?ëFáâ + F^ëá?áFâë	=	0
	F^ëá?âFëá + F^áë?áFëâ + F^ëá?áFâë	=	0
	F^ëá?âFëá - F^áë?áFâë - F^áë?áFâë	=	0
	2F^ëá?âFëá - 4F^áë?áFâë	=	0
	?â (F^ëáFëá) - 4F^áë?áFâë	=	0	(car	?â (F^ëáFëá) = 2F^ëá?âFëá )
	g^âu?â (F^ëáFëá) - 4g^âuF^áë?áFâë	=	0
	?u(F^ëáFëá) - 4F^áë?á (g^âuFâë)	=	0
	?u(F^ëáFëá) - 4F^áë?áF^uë	=	0

Mémoire de MASTER 13 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.