Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

Mémoire de MASTER 10 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

1.3 L'équation de Boltzmann en f

où P = _p0^p, é est donné par (1.30), et où le point (· ) désigne le produit scalaire défini par (1.5). ( La preuve est faite en Annexe 1. )

On déduit, en utilisant les propriétés usuelles des déterminants, que le Jacobien du

changement de variables (p, q) (p^', q^') défini par (1.31) est :

?(p^', q^') ?(p, q)

p'0q'0 = -(1.33) p^0q^0

( La preuve est faite en Annexe 2. )

· Il apparait alors clairement, en utilisant (1.6) et (1.31) que les fonctions qui apparaissent dans les intégrales (1.25) et (1.26) qui définissent Q⁺ et Q^- s'expriment uniquement en fonction de p, q et ù de sorte que les intégrales qui sont prises par rapport à q et ù laissent bien des fonctions Q⁺(f, g) et Q^-(f, g), de la seule variable p. Dans la pratique, nous considérons des fonctions f sur R⁴, (t, p) H f(t, p) qui induisent pour t fixé dans R, des fonctions f(t) sur R³ définies par f(t)(p) = f(t, p).

· Maintenant, puisque f ne dépend que de t et p = (pⁱ), l'équation de Boltzmann (1.23) en f s'écrit :

?f + ?t

Pi p0

?f ?p^i

=

Q(f,f) p0

(1.34)

De l'expression (1.2) des ?^ë_áâ et l'expression (1.8) de P^á, on a pour i = 1, 2, 3 fixé :

P i ( )

1

â

p0 = - ?ⁱ _ëup^ëpu + epâF i
_p0

( )

1

= - ?ⁱ _0up⁰pu - ?ⁱ_jup^jpu + ep0F0 ⁱ + epkF i

k

_p0

( )

1

= - ?ⁱ _0up⁰pu - ?ⁱ _iupⁱpu + ep0F0 ⁱ + epkF i

_p0 k

( )

1

= - ?ⁱ _0ip⁰pⁱ - ?ⁱ _i0pⁱp⁰ + ep⁰g0_áF^ái + ep^kg^iáFk_á
p0

( )

1

= - 2?ⁱ _0ip⁰pⁱ - ep⁰F⁰ⁱ + eg^ijp^kFkj
_p0

( )

F0i + gij pk

= -2?i _0ipⁱ - e _p0 Fjk

d'où :

_Pi _p0

( )

F0i + gij pk

= -2?i _0ipⁱ - e p0 Fjk (1.35)

1.4 Équations d'Euler et système différentiel en u = (uá)

= p0

Dans le système différentiel des trajectoires (1.7), on a, pour á = 0 et puisque x⁰ = t : dt

ds

d'où l'on déduit, que l'on peut prendre t comme paramètre, pour i = 1, 2, 3, en écrivant :

dpⁱ

=

ds

1

= Pⁱ ·

_p0

_Pi

= p0

(?)

dpⁱ dt

ds

·

dt

d'où d'après (1.35), on a :

dpⁱ

dt

k

= -2Pⁱ_0ipⁱ - e[F⁰ⁱ + gij _p0 Fjk], i = 1, 2, 3

apⁱ at

dpⁱ

dt

af apⁱ

en plus on a, sur les trajectoires, en utilisant (1.34) et (?) :

df

=

dt

=

=

=

af

+ at

af

+ at

af

+ at

af api ·

af api ·

_Pi p0 ·

Mémoire de MASTER 11 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

Q(f, f)

_p0

df d'où : dt

Q(f,f) = p0

Ainsi p = (pⁱ) et f satisfont au système différentiel suivant, où on prend t comme para-

mètre :

{ dpi

dt = -2Pⁱ_0ipⁱ - e[F⁰ⁱ + gij pk

_p0 Fjk], i = 1, 2, 3 (1.36)

dfdt = _p0 Q(f, f) ¹(1.37)

Bien noter que les deux membres de (1.37) sont évalués sur les trajectoires (t, pⁱ(t)).