Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

1.5 Le système couplé à étudier

· Il est fondamental de noter que, vu le système différentiel (1.36)-(1.37), p = (pⁱ) qui était au départ une variable pour f, est maintenant devenu une fonction inconnue de t, au même titre que f. La variable pour la fonction f devra donc être notée dorénavant par une autre lettre que p, pour éviter toute confusion.

· Pour étudier (1.37), on s'interesse d'une manière générale à l'équation différentielle :

df 1

dt = p°

Q(f, f) (1.48)

pour une fonction, f : I c R -+ E, t H f(t) E E, où E est un espace de Banach de fonctions sur R³ à spécifier, avec pour q E R³, q H ^?f(t)(q) E R. La restriction de f aux trajectoires (pⁱ(t)) c R³ définies par le système conjoint (1.36) donnera la solution cherchée f de (1.37). L'étude de l'opérateur des collisions Q faite par exemple dans [12] montre que l'espace de Banach approprié est E = L¹(R³). Maintenant pour ne pas surcharger les notations, au lieu d'introduire (1.48) en f on va toujours considérer (1.37) cette fois f joue le rôle de f^? ; de même, toutes les intégrales en f sont en fait des

^?f.

intégrales en

· L'équation (1.21) en F^°i s'écrira, vu l'expression (1.20) de e :

i

F^ÿ°i+HF^°i = J 3 qq°2

f(t)(q)dq- u° f3 f(t)(q)ab²dq, i = 1, 2, 3 (1.49)

1.5 Le système couplé à étudier

où :

aÿ bÿ

H = +2 (1.50)
a b

H est une quantité appelée courbure moyenne de l'espace-temps (1[8⁴, g). H jouera un rôle fondamental.

· Le système en p = (pⁱ) s'écrira vu (1.36) et l'expression (1.20) de e :

{ ÿpⁱ = -2?ⁱ_0ipⁱ - [F⁰ⁱ + gⁱjp^k _öpj0k ] o fR3 f(t)(q)ab²dq

(1.51)

i = 1,2,3

où ?ⁱ_0i est donné par (1.2) et d'après (1.19) öij = Fij(0) = C^te.

· L'équation en f est donnée (1.48) où pour simplifier f est notée f.

· En ce qui concerne le système en u = (uâ), on a le lemme suivant.

Lemme 1.2. En utilisant Fá ëuáu^ë = F_áëu^áu^ë = 0 (car Fáë = -Fëá) et l'expression (1.12) de Jâ, (1.47) donne le système en (uâ) :

ñ0u0 Fâ ë [ I3 që.Î(tg(q)ab2 dq - û0 f3 f(t) ₍q)ab²dql1

u^áu^ë

ÿu^â = -?âáë

_u0

Mémoire de MASTER 15 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

1

ñ0u0Fáëuáuâ f3 g0 f(t)(q)ab²dq (1.52)

De plus (1.52) s'écrit, en explicitant les fonctions inconnues :

(u^i)^2 ÿu^0= -?0 ii 0 u		giiF^0iab^2	[/' 3 q0^iI f(t)(q)dq - u0 f3 f(t)(q)dql1
		ñ0u^0
ab^2 + ñ0	giiF0i (u0 l f3 qo f(t)(q)dq-ui ^f3f(t)(q)dq f --ab p ijui f3 q39 f(t)(q)dq ^(1.53)

et :

ab²gⁱⁱöii qjf(t)(q) ab²gⁱⁱöij

ÿuⁱ = -2?i0iui ₀ f (t)(q)dq

ñ0u f3 _qo dg ñ0(u0 )² _IIP3

ab^2gjjF^0ju^i + ñ0

2g 0juiuj f3 g0f(t)(q)dq - ab pou° f3

f(t)(q)dq

- ab2öjk p0u0 JR 3 g° f(t)(q)dq. (i = 1, 2, 3) (1.54)

Mémoire de MASTER 16 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.