Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

1.6 Les espaces de fonctions

Preuve. (Voir Annexe 3)

On sait d'après (1.13) que les uⁱ déterminent u⁰. On étudiera donc le système (1.54) en uⁱ, i = 1, 2, 3, en prenant l'équation (1.53) en u⁰ comme une équation auxilliaire qui peut être éventuellement utile pour l'étude du système (1.54).

On pose dans toute la suite :

fEⁱ = F0i

E = (Eⁱ), i = 1, 2, 3

En définitive le système différentiel couplé à étudier en (Eⁱ, pⁱ, f, uⁱ) est le suivant :

(S) : {

Ei = - (a + 2)

Ei + ab2 fR3 qo fdq

a b abu0 i 1 R3 fdq

(1.55)

i i ab²Eⁱ ab²gⁱjöjk _pk

ÿpⁱ = -2?_0ip - _u0 fR3 fdq - _u0 _p0 fR3 fdq (1.56)

df dt =

_ui

_p0Q(f, f)

1 (1.57)

₌i

uz - ab²gⁱⁱöij qj d ab2giiöijuj d ab²g_jjEjuⁱ qj fdq

ñ0u⁰ f][P3 _q0 f q + ñ0(u⁰)² f][P3 f q + P0 fR3 _q0 f q

^ab2g_ñ0u0^uiuj fR3 fdq - ab2öjk P0u0 iuj fR3 q0 fdq, i = 1, 2, 3 (1.58)